Многомерная случайная величина. Функция и плотность распределения


 

Рассмотрим случайную величину – точку разрыва снаряда на плоскости. Поскольку точка на плоскости характеризуется двумя координатами, то мы имеем дело уже не с одной, а с системой двух случайных величин (ξ, η). Аналогично, точка разрыва дистанционного снаряда в воздухе – система трех случайных величин (ξ, η, ζ). Это примеры многомерных случайных величин. Геометрически такие величины интерпретируются как случайные точки в n-мерном пространстве или как случайный вектор ξ=(ξ12,…,ξn) этого пространства. Уточним понятие многомерной случайной величины. Пусть (Ω, , Р) – вероятностное пространство и пусть на Ω задано n случайных величин ξ12,…, ξn. Совокупность (система) этих величин ξ=(ξ12,…,ξn) и называется многомерной случайной величиной, или n-мерным случайным вектором, или случайной точкой n-мерного пространства. Сами величины ξi называются компонентами (координатами) вектора ξ.

Определение 1. Функция F(x1,x2,…,xn) называется функцией распределения n-мерной случайной величины

ξ=( ξ12,…,ξn), если она определена равенством

F(x1,x2,…,xn)=P(ξ1<x12<x2,…,ξn<xn). (1)

Заметим, что событие

1<x12<x2,…,ξn<xn}= ,

а поэтому вероятность в правой части (1) существует, и функция распределения определена в любой точке пространства Rn.

Если все компоненты случайного вектора являются дискретными, то и сам вектор называется дискретным.

Определение 2.Если существует неотрицательная функция f(x1,x2,…,xn) такая, что при любых x1,x2,…,xn выполняется равенство

, (2)

то случайный вектор ξ=(ξ12,…,ξn) называется непрерывным. Функция f(x1,x2,…,xn) называется плотностью распределения случайного вектора ξ.

 
 
 
 
 
 
 
 
Функция F(x1,x2,…,xn) имеет смысл как для дискретного, так и для непрерывного случайного вектора. Плотность распределения f(x1,x2,…,xn) имеет смысл только для непрерывной случайной величины, если иметь в виду обычные функции. Используя δ-функцию, можно и для дискретной случайной величины ввести понятие плотности. Остановимся подробнее на двумерной случайной величине (ξ, η) с функцией распределения F(x,y)=Р(ξ<x, η<y). Геометрически функция распределения F(x,y) означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке (x, y), лежащий левее и ниже ее (см. заштрихованную часть на рисунке 17).

Функция распределения F1(x) компоненты ξ вектора (ξ, η)

означает вероятность попасть в левую полуплоскость, ограниченную справа линией, параллельной оси Оy и проходящей через точку х (см. рис. 18). Функция распределения F2(y) компоненты η вектора (ξ, η) означает вероятность попасть в нижнюю полуплоскость (см. рис. 19).

Из геометрической интерпретации легко понять свойства функции распределения F(x,y).

1) F(x,y) неубывающая функция;

2) F(-∞,y)= F(x,- ∞)= F (-∞,∞)=0;

3) F(x,+ ∞)= F1(x), F(+∞,y)= F2(y);

4) F(+∞,+∞)= 1.

Перепишем (2) для двумерной случайной величины

. (2¢)

Из (2¢) получим

,

. (3)

Дифференцируя (3) по переменным верхним пределам, найдем, что в точках непрерывности функции (x,y)

,

. (4)

Таким образом, зная закон распределения двумерной случайной величины, мы всегда найдем закон распределения составляющих величин ξ и η. Аналогично, дифференцируя (2¢) по х и по y, получим

. (5)

Из (2¢) ясно, что величину f(x,y)dxdy=f(x,y)ds можно интерпретировать как элементарную вероятность, т.е. вероятность попадания случайной точки (ξ,η) в элементарную площадку ds: Р((ξ,η)Îds)=f(x,y)ds. Поэтому вероятность попадания случайной точки в некоторую конечную область D можно определить так:

. (6)

Заметим, что все полученные формулы можно обобщить на n-мерную случайную величину. В частности

. (5¢)

Если дискретная случайная величина имеет конечное число возможных значений, то ее удобнее задавать в виде таблицы, где указаны все ее возможные значения и соответствующие вероятности. Для примера приведем такую таблицу для двумерной случайной величины (ξ,η)

 

 

h
x1 x2 xn
y1 p11 p21 pn1 p(y1)
y2 p12 p22 pn2 p(y2)
ym p1m p2m pnm p(ym)
p(x1) p(x2) p(xn)  

 

Здесь случайная величина ξ принимает n возможных значений, а случайная величина η – m возможных значений. .

Первая и последняя строка таблицы дают ряд распределения случайной величины ξ, а первый и последний столбцы таблицы дают ряд распределения случайной величины η. При этом

,

. (7)

Пример 1. Дискретная случайная величина (ξ,η) задана таблицей. Найти ряд распределения для компонент ξ и η.

 

 

h ξ P(η=yi)
x1=1 x2=3 x3=4 x4=8
y1=3 0,15 0,06 0,25 0,04 0,5
y2=6 0,30 0,10 0,03 0,07 0,5
P(ξ=xi) 0,45 0,16 0,28 0,11  

Решение. Суммируя, согласно (7), pij, стоящие в столбцах, получим ряд распределения случайной величины ξ (см. последнюю строку таблицы). Суммируя pij, стоящие в строках, получим ряд распределения случайной величины η (см. последний столбец таблицы).

Пример 2. Непрерывная случайная величина (ξ,η) задается плотностью распределения

.

Найти плотности компонент ξ и η f1(x) и f2(y).

Решение. Воспользуемся формулами (4).

.

= .

 



Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 510;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.012 сек.