Числовые характеристики многомерной случайной величины


Основными числовыми характеристиками двумерной случайной величины (ξ,h) являются начальные и центральные моменты.

Определение 1. Начальным моментом αks порядка (k+s) случайной величины (ξ,h) называют число, определяемое формулой

. (1)

Здесь f(x,y) - плотность распределения случайного вектора (ξ,h).

Очевидно, α00=1. Наиболее употребительными являются начальные моменты α10 и α01.

= =

=

Аналогично найдем, что α01=mη. Точку (mξ,mη) называют центром распределения величины (ξ,h).

Определение 2. Центральным моментом mks порядка (k+s) случайной величины (ξ,h) называют число, определяемое формулой:

. (2)

Поскольку μ01= μ10=0, то наиболее употребительными являются центральные моменты второго порядка μ20, μ02, μ11.

= = .

Аналогично найдем, что μ02=Dη; Dξ и Dη – дисперсии компонент ξ и h. Они характеризуют рассеяние случайного вектора (ξ,h) в направлениях осей координат x и y.

Особую роль играет второй смешанный момент μ11:

. (3)

Его называют корреляционным моментом. Формулу (3)можно преобразовать к виду:

Кξη11 – mξmη. (3¢)

Если случайная величина (ξ,h) дискретная с конечным числом возможных значений, то формулы (1), (2), (3¢) удобнее писать в виде:

, (1¢)

, (2¢)

(3¢)

Теорема.Если ξ и η независимые, то корреляционный момент равен нулю, kξη11=0.

Доказательство. Если ξ и η независимые, то f(x,y)=f1(x)f2(y). Тогда

= 0.

Теорема доказана.

Определение 3. Если корреляционный момент Кξη равен нулю, то ξ и η называются некоррелированными. Если Кξη¹0 - то они называются коррелированными.

Следствие. Коррелированные величины являются зависимыми.

Доказательство. От противного. Пусть они независимые. Тогда согласно теореме Кξη=0, что противоречит условию. Следствие доказано.

Замечание. Обратное утверждение неверно, т.е. зависимые случайные величины могут быть некоррелированными, а некоррелированные - зависимыми.

Из теоремы и следствия ясно, что корреляционный момент Кξη характеризует не только рассеяние случайного вектора (ξ,h), но и в какой-то степени зависимость между величинами ξ и h. Для оценки степени этой зависимости вводят понятие коэффициента корреляции:

. (4)

Можно доказать, что . При этом, если rξη=0, то величина ξ и η некоррелированные, если , то они связаны линейной функциональной зависимостью. Таким образом, чем ближе модуль коэффициента корреляции к единице, тем теснее линейная связь между компонентами ξ и η.

Аналогично определяются числовые характеристики n-мерного случайного вектора ξ=(ξ1, ξ2,…,ξn). В частности:

(5)

(6)

(7)

Из (7) видно, что Kij=Kji, Kii=Di.

Корреляционные моменты Kij образуют корреляционную матрицу. Матрица симметричная, по главной ее диагонали стоят дисперсии компонент вектора.

Пример. Найти корреляционный момент Kξη случайного вектора пр.1 §14.

Решение. В пр.1 §14 найдены ряды распределения компонент ξ и η. Воспользуемся ими и найдем mξ и mη:

Согласно (3//):

Итак, Kξη=-0.555, следовательно, компоненты ξ и η зависимые.



Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 505;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.