Передаточные функции. Преобразование Лапласа и его свойства.

Одной из основных форм математической модели динамических звеньев является передаточная функция устройства, которая получается путём интегрального преобразования Лапласа дифференциального уравнения. Суще-ствует прямое преобразование Лапласа:

где f(t) – оригинал, F(p) – изображение.

Также существует обратное преобразование Лапласа:

Эти уравнения часто записывают в сокращенном виде:

Передаточная функция устройства определена как изображение выходной величины y(p) к изображению входной величины x(p) при нулевых начальных условиях. Обозначается:

В таблице 1 приведены основные свойства и теоремы преобразования Лапласа, которые используются при переходе к операторной форме дифферен-циального уравнения и определении передаточной функции.

Таблица 1. Преобразования Лапласа

Наименование	Оригинал	Изображение Лапласа
Свойство линейности
Теорема подобия
Теорема запаздывания
Теорема смещения в комплексной плоскости
Правило дифференцирования при нулевых начальных значениях
Правило интегрирования при нулевых начальных значениях
Теорема о конечном значении
Теорема о начальном значении
Единичная импульсная функция
Единичная ступенчатая функция
Неединичная ст. ф-ция

Таблица 1. (Окончание)

Наименование	Оригинал	Изображение Лапласа
Степенная функция
Экспонента
Смещенная экспонента
Синусоида
Косинусоида
Затухающая синусоида
Затухающая косинусоида

В частности, в этом случае используется свойство линейности и правило дифференцирования при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим примеры получения передаточных функций типовых звеньев.