Классическое определение вероятности

Классическое и геометрическое определения вероятности

Будем говорить, что произведен стохастический эксперимент, если результат этого эксперимента нельзя указать заранее. При этом известно множество возможных результатов эксперимента и это множество не изменяется при повторных экспериментах. Кроме того, стохастический эксперимент допускает возможность многократного повторения.

Определение. Элементарным исходом эксперимента называется результат, которым завершился стохастический эксперимент.

Множество элементарных исходов эксперимента обозначается . Записывают .

Определение. Случайным событием называется любое подмножество множества элементарных исходов экперимента , т.е. , , где – некоторая перестановка индексов элементов множества .

Классическое определение вероятности

Пусть – конечное множество равновозможных исходов, а –некоторое событие. Тогда вероятность события вычисляется по формуле:

(1.1)

где – количество иcходов, благоприятствующих событию , а –общее количество исходов эксперимента.

Задача.

В урне находится белых и черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.

Решение.

Стохастический эксперимент состоит в извлечении одного шара из урны, следовательно, элементарный исход эксперимента можно определить как «извлечен один шар».

Для указания множества необходимо перечислить все мыслимые в данном эксперименте исходы. Для рассматриваемого эксперимента можно записать: . Тогда событие .

Таким образом, , , и вероятность события равна

.

Сведения из комбинаторики.

При нахождении вероятностей в схеме классического определения используются элементы комбинаторики. Приведем некоторые необходимые определения.

Пусть имеется конечное множество некоторых элементов.

Определение. Сочетанием из элементов множества по называется любое подмножество { } содержащее элементов, то есть сочетания представляют собой подмножества, различающиеся только составом элементов.

Число всех сочетаний (из элементов по ) вычисляется по формуле:

(1.2)

Пример. Пусть – множество букв латинского алфавита. Составим сочетания из 4 по 3. Получаем: .

Определение. Размещением из элементов множества по элементам (из элементов по ) называется любой упорядоченный набор ( ) элементов множества Х.

Таким образом, размещения представляют собой такие подмножества, в которых различают не только состав, но и порядок следования элементов.

Число всех размещений (из элементов по ) определяется формулой:

. (1.3)

Пример. Пусть по-прежнему – множество букв латинского алфавита. Составим теперь размещения из 4 по 3. Получаем: . Всего 24 размещения.

Определение. Перестановкой из элементов по называется размещение (другими словами, элементов по местам).

Число всех перестановок вычисляется по формуле:

(1.4)