Направляющие косинусы вектора

Пусть дан произвольный вектор ={C;U;Z}; будем считать, что выходит из начала координат и не лежит ни в одной координатной плоскости. Проведем через точку М плоскости, перпендикулярные осям. Вместе с координатными плоскостями они образуют прямоугольный параллелепипед диагональю которого служит отрезок ОМ

Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений. Следовательно,

|ОМ |² = |ОМ₁ |² + | ОМ₂|² + | ОМ₃ |².

Но |ОМ | =| |, | |=|Х|, | |=|У|, | |=|Z |; таким образом, получаем , (3).

Обозначим через α, β, γ углы вектор а и осями координат. Из формул (1), (2) и (3) получаем

cosα = , cos β = , cos γ = ;

cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора .

Возводя в квадрат левую и правую части каждого из равенств, и суммируя полученные результаты, имеем:

сos²a + cos ²b +cos² g = 1, т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

В заключении пункта рассмотрим задачу:

Пусть даны две произвольные точки М₁ (х_1;у_1;z₁ ), М₂(х_2; у_2;z₂ ). Найдем расстояние d между ними. Используя теорему 2, и формулу (3), сразу получаем искомый результат:

= { х ₂ – х; у₂ –у ₁; z₂ –z ₁} , а так как d – длина вектора , то d = | | = – формула расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

­

§2 . Разложение вектора по базису

Определение: Пусть задана система координат Охуz в пространстве. Пусть векторы , , – единичные векторы осей координат, т. е. | | = | | = | | = 1 (т.е. их длины равны единице; единичные векторы еще называют орт – векторами), и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат. Тройка векторов , , называется базисом.

Имеет место следующая теорема:

Теорема 3:Любой вектор может быть единственным образом разложен по базису , , , т. е. представлен в виде: = l +m + h , где l, m, h – некоторые числа.

Доказательство: Приложив вектор к началу координат, обозначим его конец через М (смотри рисунок §1, 1,6.). Проведем через точку М плоскости, перпендикулярные осям координат. Пусть М_1, М_2, М₃ – точки пересечения этих плоскостей с осями координат. По определению сложения векторов имеем:

= + , = + . (1)

Из этого равенства получаем = + + . Так как векторы и , и , и коллинеарны, то = l , = m , = h (2), где l, m, h – некоторые числа.

Из равенства (1) и соотношений (2) получаем = l +m + h .

Для доказательства единственности этого представления установим, что l=Х, m=У , h=Z , где Х, У, Z – координаты вектора .

Покажем, например, что l=Х. Так как Х=½ ½, если имеет то же направление, что и вектор , и Х= - ½ ½, если вектор имеет направление, противоположное направлению вектора , то = Х . Сравнивая с равенством = l , получаем l = Х. Аналогично показывается, что m = У, h = Z . g