Линейные операции над векторами

Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора на ось

Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своими численными значениями, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: масса, объем, работа, длина, площадь, температура.

Другие величины, например, сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными.

Определение:Вектором называется направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В. Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым и обозначается или просто 0. Вектор обозначается так или , или выделяется жирным шрифтом а. Направление вектора на рисунке указывается стрелкой

А В с

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается: , .

Определение:Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым вектором. Длина его равна нулю, т. е. ½ ½=0. Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.

Определение:Векторы и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направленные и их длины равны.

На рисунке изображены слева неравные, а справа - равные векторы и .

Всякие векторы можно «привести к общему началу», т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало в некоторой точке О. Такое приведение показано на рисунке ниже.

О

В связи с этим векторы называются свободными.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения, вычитания и умножения вектора на число. Эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями, поэтому учение о действиях над векторами называется векторной алгеброй.

Сложение векторов.

Пусть даны два вектораи . Суммой + называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора . (Правило треугольника.) Графически это выглядит так:

Сумму двух векторов можно найти по правилу параллелограмма, для этого вектор приложите к началу вектора , достройте полученную фигуру до параллелограмма. Диагональ, выходящая из начала векторов - есть вектор суммы, т.е. + = .

Замечание:Определив сумму двух векторов,можнонайти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора , , Сложив и , получим вектор + . Прибавив теперь к нему вектор , получим вектор + + =