Свойства скалярного произведения векторов

Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения векторов:

1. = –(коммутмтивность).

Доказательство: По определению скалярного произведения

= ½ ½ ½ ½ cos j и

= ½ ½ ½ ½ cos j , но ½ ½ ½ ½ = ½ ½ ½ ½, поскольку это произведение чисел. Следовательно,

= . g

2. ( l ) = l ( ) – (ассоциативность)

3. ( + ) = + – (дистрибутивность).

Замечание 1:Данное свойство дает право при скалярном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно. В силу свойства 1. можно при этом не заботиться о порядке сомножителей, а свойство 2. позволяет объединить числовые коэффициенты векторных сомножителей, например,

(2 +5 ) (3 +4 ) = (2 +5 ) (3 ) + (2 + 5 ) (4 ) = (2 ) (3 ) +(5 ) (3 )+(2 ) (4 )+ (5 ) (4 ) =6 + 15 + 8 + 20 .

4. = ½ ½²

Доказательство: По определению скалярного произведения = ½ ½ ½ ½ cos 0 = ½ ½², если ½ ½¹ 0, т. е. если ¹ 0. Если же = 0, то также, по определению, = 0. Но в этом случае ½ ½= 0 и, значит, равенство = ½ ½² также справедливо. g

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается ². На основании только что доказанного мы имеем: ² = ½ ½² ; отсюда, в частности, = ½ ½.

5. Если = 0 и ½ ½½ ½¹ 0, то cos j = 0 и j = p/2, т.е. векторы и перпендикулярны, т.е. . И обратно, если ,то = 0.

Замечание 2: Для базисных векторов , , , непосредственно получаем следующие равенства: ² = ² = ² =1, = = = = = = 0.