Лекция 9. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана

Пусть дана функциональная последовательность состоящая из комплексных функций ( Тогда формальная сумма бесконечного числа слагаемых:

называется рядом, построенным по указанной функциональной последовательности. В частности, если все то ряд будет числовым. При этом общий член ряда (1), а его я частичная сумма. Множество

называется областью определения ряда (1).

Определение 1.Говорят, что ряд (1) сходится в точке к сумме если существует конечный предел его частичных сумм. Это эквивалентно высказыванию Если здесь номер не зависит от (т.е. ), то говорят, что ряд (1) сходится равномерно по (или равномерно на множестве ).

Это определение фактически не отличается от аналогичного определения в действительном анализе. Поэтому здесь также справедливы следующие утверждения.

1. Если ряд (1) сходится в точке , то его общий член при

2. Если ``модульный ряд'' сходится, то сходится и сам ряд (1) (в этом случае говорят, что ряд (1) сходится абсолютно; если ряд (1) сходится, а его ``модульный ряд'' расходится, то говорят, что (1) сходится условно).

Для нахождения области абсолютной сходимости ряда (1) и области его равномерной сходимости надо применить известные признаки сходимости (Даламбера, Коши, интегральный признак, признак Вейерштрасса) к действительному знакоположительному ряду При этом все свойства равномерно сходящихся действительных рядов рядов переносятся и на комплексные ряды. Эти свойства следующие.

3. Если ряд (1) состоит из непрерывных на множестве слагаемых и сходится к сумме равномерно на множестве , то его сумма непрерывна на .

4. Если ряд (1) сходится равномерно на ограниченной кусочно- гладкой кривой и все его члены непрерывны на то ряд (1) можно интегрировать на т.е.

5. Если все члены ряда (1) аналитичны в ограниченной односвязной области и ряд (1) сходится равномерно в замкнутой области то его сумма аналитична в причем

а ряд из производных будет сходиться равномерно по

1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана

Функциональные ряды вида где (коэффициенты ряда) и (центр ряда) – постоянные, переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимости степенного ряда

(с центром ), то легко найдем и область сходимости исходного ряда Поэтому впредь, если не оговорено противное, будем рассматривать степенные ряды .

Теорема Абеля.Если степенной ряд сходится в точке то он сходится абсолютно и в круге В любом замкнутом круге указанный ряд сходится равномерно.

Так же, как и в действительном анализе, здесь вводится понятие радиуса сходимости ряда.

Определение 2. Число называется радиусом сходимости ряда (2), если внутри круга этот ряд сходится абсолютно, а вне замкнутого круга он расходится. При этом круг называется кругом сходимости ряда .

Заметим, что при указанный степенной ряд сходится только в точке а при он сходится при всех комплексных Следующие примеры показывают, что эти случаи не исключаются: Примером ряда с ненулевым конечным радиусом сходимости может служить геометрическая прогрессия Заметим также, что на границе круга сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, ряд сходится условно в точке и расходится в точке

Здесь так же, как и в действительном анализе имеет место утверждение.

Теорема 1. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:

а) существует (конечный или бесконечный) предел

б) существует (конечный или бесконечный) предел (при этом предполагается, что существует номер такой, что ).

Тогда число радиус сходимости ряда .

Пусть функция имеет в точке и некоторой её окрестности производные Тогда этой функции можно поставить в соответствие степенной ряд

Этот ряд называется рядом Тейлора, построенным по функции Возникают следующие естественные вопросы:

1) при каких условиях на функцию ряд сходится и какова область его сходимости?

2) при каких условиях на функцию ряд сходится именно к функции по которой он строится?

На первый вопрос можно ответить, применяя к признаки сходимости степенных

рядов. Ответ на второй вопрос содержится в следующем утверждении.

Теорема 2 (о разложимости аналитической функции в ряд Тейлора). Пусть функция аналитична в области Тогда в любом круге лежащем в области функция разлагается в степенной ряд

абсолютно сходящийся в круге Этот ряд необходимо является рядом Тейлора

для функции т.е.

Таким образом, разложение аналитической функции в степенной ряд единственно.

Доказательство. Возьмём произвольно точку и опишем круг охватывающий точку Так как функция аналитична в односвязной области то для неё справедлива интегральная формула Коши:

Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:

=[выносим за скобку вектор максимальной длины: ]=

= Так как

то геометрическая прогрессия

разлагается в равномерно сходящийся в круге степенной ряд

Поэтому

Подставляя это в (4), будем иметь

Учитывая, что

получаем утверждение нашей теоремы.

Для комплексных функций имеют место стандартные разложения в степенные ряды.

Таблица 1. Разложения основных элементарных функций в степенные ряды