Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции

Так же, как и в действительном анализе, для функций комплексного переменного вводится понятие производной. Однако здесь это понятие более глубокое, чем в действительном анализе. Например, всякая линейная действительная функция дифференцируема в любой точке. Для комплексных функций это не так. Например, функция нигде не дифференцируема. Перейдём к изучению этого понятия.

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности . Сместимся из точки в точку Тогда аргумент функции получит приращение , а сама функция – приращение

Определение 1. Если существует конечный предел

то его называют производной функции в точке и обозначают

С понятием производной тесно связано понятие дифференцируемости функции в точке функция называется дифференцируемой в точке если её приращение в этой точке представляется в виде

где постоянная, не зависящая от При этом величина называется дифференциалом функции в точке и обозначается Разделив обе части равенства (2) на будем иметь Последнее равенство означает, что существует предел (1), т.е. что существует производная и что она равна Таким образом, дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию производной . При этом и значит,

Как уже отмечалось выше, не любая (даже очень простая) функция дифференцируема в точке Для этого её мнимая и действительные части должны быть определенным образом подчинены друг другу в следующем смысле.

Теорема Коши-Римана. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы в точке её действительная и мнимая части были дифференцируемы (как функции действительных переменных) и чтобы в этой точке имели место равенства

(равенства (3) называются условиями Коши-Римана).

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке Тогда имеет место асимптотическое разложение (2). Запишем его более подробно:

где (очевидно, что ) Отделяя здесь мнимые и действительные части, получим

Эти равенства означают, во-первых, что функции дифференцируемы как функции действительных переменных и в точке и, во-вторых,что имеют место равенства

в точке

Таким образом, если функция дифференцируема в точке то имеют место условия Коши-Римана (3). Рассуждая обратным ходом, покажем, что при выполнении условий (3) функция будет дифференцируемой в точке Теорема доказана.

Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что если дифференцируема в точке то ее производную в этой точке можно вычислять по формуле или по формуле .

Пример 1.Проверить, будет ли функция дифференцируемой. Если да, то найти её производную.

Решение.Выделим сначала в мнимую и действительные части:

Теперь проверим условия Коши-Римана. Имеем

значит, условия (3) Коши-Римана выполняются для всех Следовательно, функция дифференцируема в любой точке Её производную находим по формуле

Таким образом, как и ожидалось, мы получили, что Забегая вперёд, отметим, что производные всех элементарных однозначных комплексных функций находятся по тем же правилам, что и производные действительных функций. Например,

То же замечание справедливо и для отдельных ветвей многозначных функций. Например,

Введём теперь следующее важное понятие.

Определение 2.Функция называется аналитической в точке если она дифференцируема как в точке так и в некоторой её окрестности.

Аналитичность функции в точке равносильна тому, что удовлетворяет условиям Коши-Римана (3) в некоторой окрестности точки (включая и саму точку

Определение 3.Функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области если она аналитична в любой точке этой области.

Заметим, что действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа: Это непосредственно вытекает из условий Коши-Римана. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.

Пример 2.Является ли функция аналитической хотя бы в одной точке?

Решение.Так как , то , . Условия Коши–Римана имеют вид: , и выполняются только в точке . Следовательно, функция дифференцируема только в точке и нигде не аналитична. По определению (44) запишем: . Таким образом, производная существует и равна нулю.

Так как мнимая и действительная части аналитической функции связаны условиями Коши-Римана (3), то определяется (с точностью до постоянного слагаемого) либо своей действительной, либо мнимой частью. Покажем это на примере.

Пример 3.Найти аналитическую функцию, если известна ее мнимая часть при дополнительном условии .

Решение.Так как , то из условий Коши-Римана (3) находим производные действительной части:

Решив первое из этих уравнений, находим , где – произвольная функция переменной . Для определения дифференцируем по и подставляем в (2): , откуда и . Следовательно, и окончательно получим:

т.е. действительная часть восстанавливается с точностью до постоянного слагаемого. Условие позволяет найти эту постоянную однозначно: . Таким образом, .

Имеют место следующие утверждения.

1. Степенная функция с натуральным показателем аналитична во всей комплексной плоскости причем

2. Каждая ветвь функции аналитична в области причем

3. Комплексная экспонента аналитична во всей плоскости причем

4. Комплексные тригонометрические функции и аналитичны во всей плоскости причем То же утверждение имеет место и для гиперболических функций, причем

5. Каждая ветвь логарифмической функции аналитична в области причем

Все эти утверждения проверяются с помощью соотношений Коши-Римана.

2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть функция дифференцируема в точке и При отображении вектор исходящий из точки переходит в

Рис. 8

бесконечно малый вектор исходящий из точки а гладкая кривая переходит в гладкую кривую (см. рис. 8). Поскольку то выполняются одновременно следующие соотношения:

Отсюда следует, что с точностью до выполняются равенства

Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной ):

а) модуль равен коэффициенту растяжения (сжатия) бесконечно малого вектора исходящего из точки при отображении

б) аргумент равен углу поворота бесконечно малого вектора исходящего из точки при отображении

Эти утверждения верны для произвольного бесконечно малого вектора исходящего из точки причем утверждение б) будет верно для любых гладких кривых исходящих из точки (в этом случае вектор касается кривой в точке ). Если и две гладкие кривые, исходящие из точки то из утверждения б) следует, что при отображении они развернутся на один и тот же угол, т.е. угол между кривыми и при отображении сохраняется. Более того, сохраняется и направление этого угла. Исходя из сказанного, вводят следующее понятие.

Определение 4. Отображение окрестности точки на окрестность точки называется конформным, если оно обладает постоянством растяжения (сжатия) бесконечно малых элементов и сохранением углов и их направлением между любыми двумя гладкими кривыми Отображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке области и если функция является аналитической и однолистной в области .

Теорема 2. Пусть функция – однолистная и аналитическая в области и в каждой точке области . Тогда отображение будет конформным в области .

Доказательство этого утверждения вытекает из геометрического смысла производной и ее аргумента. Например, главная ветвь логарифма является конформным отображением области на область Конформные отображения играют важную роль в прикладных науках. Однако подробное их изучение в нашем курсе не позволяет дефицит времени. Читателю, заинтересованному в более детальном ознакомлении с теорией конформных отображений, рекомендуем книгу Б.А. Фукса и Б.В. Шабата ``Функции комплексного переменного и некоторые их приложения'' (ГИФМЛ, Москва, 1959) .

======================================================

Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции

Везде ниже, если не оговорено противное, функция предполагается однозначной в своей области определения. Пусть в плоскости задана некоторая ориентированная кривая ( начало, конец). Каждой точке плоскости соответствует единственное комплексное число (и обратно), поэтому будем отождествлять точку и соответствующее комплексное число и будем писать Пусть функция определена на кривой . Разобъём кривую на частичные дуги точками в направлении ориентации кривой:

Возьмём произвольно точку и составим интегральную сумму Обозначим диаметр разбиения .

Определение 5.Если существует конечный предел интегральных сумм:

и он не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют интегралом от функции вдоль кривой (дуги) и обозначают При этом функцию называется интегрируемой на кривой .

Сразу же отметим свойство ориентированности этого интеграла:

которое вытекает из того, что при ориентации кривой от до вектор заменяется на вектор Кроме того, интеграл от комплексной функции, очевидно, обладает свойствами линейности и аддитивности, которые мы не выписываем. Следующее утверждение позволяет свести комплексный интеграл к двум действительным криволинейным интегралам.

Теорема 3. Пусть ограниченная дуга кусочно-гладка и лежит в области определения функии . Пусть, кроме того, непрерывна на дуге . Тогда имеет место равенство

Доказательство. Преобразуем в интегральной сумме (5) слагаемое :

Тогда интегральная сумма в равенсте (5) примет вид

Здесь действительная часть является интегральной суммой для криволинейного интеграла , а мнимая часть – интегральной суммой для криволинейного интеграла . Так как функция непрерывна на дуге то на этой дуге непрерывны ее действительная часть и мнимая часть поэтому указанные криволинейные действительные интегралы существуют. Переходя к пределу в равенстве (7) при получаем равенство (6). Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекают свойства линейности, аддитивности и другие свойства комплексного интеграла. В частности, справедлива теорема об оценке интеграла.

Теорема 4.Если функция непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной кривой то имеет место неравенство

где – длина дуги.

Из теоремы 3 вытекает также следующее утверждение.

Теорема 5.Пусть дуга задана параметрически уравнением

причем функция непрерывна на отрезке и дуга ориентирована по возрастанию параметра (т.е. – начало, конец дуги ). Пусть, кроме того, функция непрерывна на дуге .Тогда имеет место равенство

В качестве примера вычислим имеющий широкое применение в дальнейшей теории интеграл Покажем, что

Имеем

Если то Если то

Равенство доказано.

2.2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши

Напомним, что множество называется односвязным, если любой замкнутый контур, лежащий в можно стянуть в точку, не выходя из . Множество называется связным, если его граница состоит из попарно не пересекающихся между собой замкнутых контуров.

Например, на рисунке A изображена односвязная область, на рисунке B – 4-связная область (одна внешняя граница и три внутренних границ). При этом будем говорить, что направление на границе является положительным ( – положительно ориентирована), если при её обходе область остаётся слева. Например, на рисунке C граница двухсвязной области положительно ориентирована. Ориентация, противоположная положительной, называется отрицательной.

Теорема Коши для односвязной области.Пусть область односвязная и функция аналитична в Тогда каков бы ни был кусочно-гладкий замкнутый контур лежащий внутри интеграл от по равен нулю.

Доказательство.Вычислим интеграл

Воспользуемся формулой Грина:

где область, охватываемая контуром Будем иметь

(здесь в квадратных скобках выписаны условия Коши-Римана, которые выполняются, так как функция аналитична в области ). Теорема доказана.

Теорема Коши для многосвязной области.Пусть область связна,причем её внешняя граница, а её внутренние границы, обходимые все против часовой стрелки. Пусть функция аналитична в Тогда имеет место равенство

Доказательствопроведём для двухсвязной области Сделаем разрез соединяющий внутреннюю и внешнюю границы и Тогда область будет односвязной, а замкнутый контур лежит в Значит, для этого контура справедлива предыдущая теорема: Применяя свойство аддитивности интеграла, будем иметь

Рис. 10 Учитывая, что приходим к равенству

Остаётся учесть что здесь контуры и обходятся против часовой стрелки. Теорема доказана.

И, наконец, сформулируем без доказательство следующее важное утверждение.

Интегральная теорема Коши. Пусть функция аналитична в односвязной области Тогда какова бы ни была точка лежащая внутри области и замкнутый кусочно-гладкий контур , охватывающий точку и обходимый против часовой стрелки, справедлива интегральная формула Коши

При этом функция имеет всюду в производные любого порядка, для которых справедлива формула

Замечание. Если функция аналитична в замкнутой ограниченной области с кусочно гладкой границей то в качестве контура в (6) можно взять границу Тогда из (5) вытекает, что аналитическая в функция полностью определяется своими значениями на границе Таким свойством действительные функции не обладают.

Интегральная формула Коши имеет многочисленные применения, о которых будет сказано в дальнейшим. Рассмотрим несколько примеров[i].

Пример 1.Вычислить

Решение. Внутри окружности знаменатель дроби обращается в нуль в точке . Для удобства применения формулы (5) перепишем интеграл в виде

Здесь и аналитична в круге . Тогда .

Пример 2.Вычислить : по

а) контуру ; б) .

Решение.а) В круге функция аналитична. Следовательно, по теореме Коши для односвязной области получаем, что .

Рис. 11

б) Так как внутри контура интегрирования знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в точках и , то для того, чтобы стало возможным применить формулу (5), рассмотрим многосвязную область (рис. 11), ограниченную окружностью и внутренними контурами и .

Тогда в области функция является аналитической, и по теореме Коши для многосвязной области можно записать:

Для вычисления интегралов справа применим формулу (5):

Таким образом, .

3. Первообразная функции комплексных переменных

Функция называется первообразной функции в области в области если дифференцируема в и

Из теоремы Коши для односвязной области следует, что интеграл не зависит от формы пути Поэтому можно сформулировать следующее утверждение.

Теорема 1.Если однозначная функция дифференцируема в односвязной области то она имеет первообразную в этой области. Одной из первообразных является интеграл где любой кусочно-гладкий путь, соединяющий фиксированную точку с текущей точкой . Все остальные первообразные имеют вид где произвольная комплексная постоянная.

Доказательство этой теоремы проводится так же, как и в действительном анализе. Используя эту теорему, нетрудно доказать следующие утверждения.

1. Если функция аналитична в односвязной области и её первообразная в , то справедлива формула Ньютона-Лейбница

2. Если функция аналитична в односвязной области и её первообразная в , то справедлива формула интегрирования по частям

Замена переменных в интегралах от функции комплексного переменного аналогична случаю функции действительного переменного. Пусть аналитическая функция отображает взаимно однозначно кусочно-гладкий контур в плоскости на контур в плоскости . Тогда

Замечание 2.Интегралы от элементарных однозначных функций в односвязных областях вычисляются по тем же формулам, что и в действительном анализе. Если же область неодносвязна, то это правило может нарушаться. Для вычисления интеграла от многозначной функции указывается, какая именно однозначная ветвь ее берется (см. ниже пример 7). Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Если контур интегрирования замкнут, то начальной точкой пути интегрирования считается та, в которой задано значение подынтегральной функции. Рассмотрим примеры.

Пример 3.Вычислить по кривой , соединяющей точки .

Решение. Для параболы имеем , . По теореме 1 предыдущей лекции имеем

Пример 4.Вычислить , где – дуга окружности , .

Решение. Положим , . Тогда , и по формуле (49) находим:

Пример 5.Вычислить .

Решение. Так как подынтегральная функция аналитична всюду, то по формуле (7) вычисляем: .

Пример 6. Вычислить .

Решение. Функции и аналитичны всюду. По теореме 3 предыдущей лекции получаем, что

Пример 7. Вычислить , .

Решение. Функция является многозначной: , ;