Лекция 15. Построение фундаментальной матрицы решений дифференциальной системы с постоянной матрицей. Метод Эйлера.

Формула Коши (см. формулу (18) предыдущей лекции) позволяет вычислить общее реше-

ние системы если известна фундаментальная матрица решений соответствующей однородной системы Как и в случае скалярных уравнений, в которых роль фундаментальной матрицы играла фундаментальная система решений, построение матрицы представляет серьезные трудности и не всегда осуществимо. Однако если в системе матрица постоянна, то это можно всегда сделать. Но и в этом случае вычислительные трудности значительны, особенно если матрица имеет кратные собственные значения. Поэтому здесь приводится алгоритм построения фундаментальной матрицы в случае простых корней характеристического уравнения. Напомним соответствующие понятия.

Пусть – постоянная матрица порядка .

Определение 1. Вектор называется собственным вектором матрицы соответствующим собственному значению если

Здесь – единичная матрица размерности Поскольку в этом случае однородная алгебраическая система (1) имеет нетривиальное решение то Очевидно, верно и обратное: если то система (1) имеет нетривиальное решение

Определение 2. Уравнение

называется характеристическим уравнением матрицы (или характеристическим уравнением дифференциальной системы ), а его корни – собственными значениями этой матрицы. При этом множество называется спектром матрицы .

По каждому собственному значению можно вычислить соответствующий ему собственный вектор (возможно, не единственный).

Определение 3. Спектр матрицы называется простым, если он состоит из различных собственных значений (т.е. ). В противном случае говорят, спектр матрицы кратный.

Нетрудно доказать следующие утверждения.

) Двум различным собственным значениям и матрицы соответствуют два линейно независимых собственных вектора и .

) Если спектр матрицы простой, то совокупность всех собственных векторов этой матрицы образует базис в (или в пространстве –мерных комплексных векторов).

Если – матрица из собственных векторов матрицы , то имеет место равенство

(в этом случае говорят, что матрица подобна диагональной матрице , а матрицу называют преобразующей матрицей).

Рассмотрим теперь линейную однородную систему дифференциальных уравнений

с постоянной матрицей . Связь спектра матрицы с решениями этой системы устанавливается следующей теоремой.

Теорема Эйлера. Для того чтобы ненулевая вектор-функция была решением системы (4), необходимо и достаточно, чтобы был собственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

Доказательство. Подставим вектор-функцию в (4). Будем иметь

Отсюда видно, что если является решением системы (4), то – собственное значение матрицы , а – собственный вектор этой матрицы, соответствующий собственному значению . Очевидно, верно и обратное: если и – соответствующие друг другу собственное значение и собственный вектор матрицы , то выполняются равенства

Последнее тождество означает, что вектор-функция – решение системы (4). Теорема доказана.

Воспользовавшись теоремой Эйлера, нетрудно построить фундаментальную матрицу решений системы (4) в случае простых корней характеристического уравнения (2).

Теорема 1. Если спектр постоянной матрицы простой, то матрица

где – собственный вектор матрицы , соответствующий собственному значению , является фундаментальной матрицей решений системы (4) (на всей оси .

Доказательство. По теореме Эйлера каждый столбец матрицы (5) является решением системы (4). Покажем теперь, что матрица (5) не вырождена. Для этого достаточно проверить ее невырожденность в точке . Имеем

Поскольку все столбцы этой матрицы являются собственными векторами матрицы , отвечающими различным собственным значениям , то они линейно независимы, и значит Следовательно, (5) является фундаментальной матрицей решений системы (4). Теорема доказана.

Следствие 1. В случае простого спектра матрицы общее решение однородной системы (4) имеет вид

где – собственный вектор матрицы , соответствующий собственному значению , ; – произвольные постоянные.

Заметим, что фундаментальную матрицу системы (4) можно построить и в случае кратных корней характеристического уравнения (2). Однако для этого нужно привлекать информацию о собственных и присоединенных векторах матрицы . Такая информация дается не во всех технических вузах, поэтому алгоритм построения фундаментальной матрицы решений в случае кратного спектра здесь не излагается.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Матрица этой системы имеет вид

Ее собственные значения находим из характеристического уравнения

Таким образом, спектр матрицы простой. Вычисляем собственные вектора этой матрицы. При система (1) принимает вид

Поскольку первое уравнение этой системы удовлетворяется при любых и , то система (7) эквивалентна одному уравнению , и поэтому общее решение системы (7) имеет вид

где – произвольная постоянная. Нас интересует вполне определенный собственный вектор, поэтому здесь можно положить Получим собственный вектор

соответствующий собственному значению Для вычисления второго собственного вектора, соответствующего собственному значению надо решить систему

Она имеет общее решение вида

Положив здесь , получим собственный вектор

соответствующий собственному значению По теореме 1 фундаментальная матрица решений однородной дифференциальной системы имеет вид

Для вычисления общего решения исходной неоднородной системы воспользуемся формулой Коши:

Вычислим матрицу

Теперь (8) принимает вид

Это и есть решение исходной дифференциальной системы уравнений.

[1] Здесь отрезок может быть заменён на промежутки причем могут быть равными

[2] Функции и называют ещё коэффициентами уравнения (5).

[3] Комплексная экспонента вводится ниже.

[4] См. учебное пособие “Острая О.В. Теория функций комплексного переменного.– Оренбург, 2008”.'

[5] Точнее: точная нижняя грань множества таких чисел.