Вынужденные колебания.

Происходят под действием вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону f=f_ocosωt.

Уравнение вынужденных колебаний:

,

решением которого является функция

,

где ω – частота вынуждающей силы;

ω ₀ – частота свободных колебаний без трения;

– амплитуда вынужденных колебаний;

– смещение по фазе от вынуждающей силы.

При приближении частоты вынуждающей силы ω к собственной частоте колебаний системы ω₀ наблюдается явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое называется резонансом (рис. 3 )

Рис.3

Резонансная частота

.

Резонансная амплитуда

.

Волны.

Волновое уравнение

,

где – отклонение точек среды от положения равновесия;

v – фазовая скорость распространения волны (колебаний среды).

Любая функция вида

является решением волнового уравнения и представляет суперпозицию двух волн, распространяющихся в направлении оси X (u₁) и в противоположном направлении (u₂).

Плоская гармоническая бегущая волна:

,

где u(x,t) – смещение точки среды, характеризуемой радиус-вектором x в момент времени t;

A₀ – амплитуда волны;

– циклическая частота волны;

k – волновой вектор;

φ₀ – начальная фаза волны.

Сферическая гармоническая волна:

,

где – волновое число;

λ – длина волны.

Длина волны λ фазовая скорость распространения волны v и частота волны ν связаны соотношением

.

Связь разности фаз колебаний с расстоянием Δx между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний:

.

Групповая скорость:

.

Скорость продольных волн в упругой среде:

,

где E – модуль продольной упругости (модуль Юнга) среды;

ρ – плотность среды.

Скорость поперечных волн в упругой среде:

,

где G – модуль сдвига среды.

Скорость звуковых волн в газообразной среде:

,

где p – давление газа;

ρ – плотность газа;

γ – показатель адиабаты.

Частота ω звуковой волны, воспринимаемая движущимся наблюдателем (эффект Допплера):

,

где ω₀ – частота звуковой волны, воспринимаемая покоящимся относительно источника наблюдателем;

v – скорость звуковой волны в неподвижной среде;

u_н – скорость движения наблюдателя относительно среды;

u_и – скорость движения источника волн относительно среды;

– единичный вектор, направленный от источника к наблюдателю;

k – волновой вектор;

θ_н – угол между векторами u_н и k;

θ_и – угол между векторами u_и и k.

Частота ω электромагнитной волны, воспринимаемая наблюдателем, движущимся вдоль направления распространения волны со скоростью v (продольный оптический эффект Допплера):

,

где ω₀ – частота электромагнитной волны, воспринимаемая покоящимся относительно источника наблюдателем;

c – скорость электромагнитных волн (света).

Частота ω электромагнитной волны, воспринимаемая наблюдателем, движущимся перпендикулярно направлению распространения волны со скоростью v (поперечный эффект Допплера):

.