Вынужденные колебания в линейной системе при гармоническом воздействии
Для линейных стационарных систем выполняется принцип суперпозиции: если воздействие x1(t) порождает реакцию u1(t), а воздействие x2(t) реакцию u2(t), тогда воздействие, которое является линейной комбинацией первых двух a1x1(t) + a2x2(t) порождает следующую реакцию a1u1(t) + a2u2(t). Этот принцип означает, что в таких системах отсутствует нелинейное взаимодействие колебаний, вызванных различными одновременными действующими внешними силами. Будем считать, что собственные колебания в диссипативной системе достаточно быстро затухают, и можно анализировать только вынужденные колебания, т. е. рассматривать установившийся режим
Рассмотрим простейший RLC контур с источником гармонического воздействия u1(t) с частотой w1 (рис. 26), тогда колебательный процесс будет описываться линейным ДУ:
Рис. 26. Колебательный контур с вынуждающей силой | (4.1) | |
Решением неоднородного ДУ (4.1) является сумма решений однородного уравнения, т. е. собственных колебаний, и частного решения неоднородного уравнения, т. е. вынужденных колебаний. Собственные колебания описываются уравнением (3.23) , где . |
Начальную фазу надо отсчитывать от внешнего воздействия. При гармоническом воздействии внешней силы реакция линейной системы есть гармонический сигнал:
.
Подставим это выражение в (4.1):
.
Воспользовавшись равенством
,
преобразуем получившееся уравнение к виду
.
Приравнивая амплитуды и фазы в правой и левой частях этого уравнения, получим
(4.2) |
Мы обозначили g = w1/w0 - расстройка, Q0 = w0L/R - добротность. Из (4.2) следует, что j1(w1 ® 0) = 0, j1(w1 = w0) = p/2, j1(w1 ® ¥) = p.
Решим эту задачу методом комплексных амплитуд. Сопоставим току и напряжению их комплексные амплитуды, а также вспомним реактивные сопротивления, тогда можно записать
.
Найдём модуль
.
Нетрудно видеть, что максимальное значение тока:
.
Введём форм-фактор, который определяет семейство нормированных резонансных кривых (в данном случае для тока)
.
График этой функции приведён на рис. 27. Напряжение на резисторе пропорционально току через контур uR = iR, т. е. амплитуда напряжения на резисторе достигает максимума при w1 = w0. Зависимость фазы напряжения на резисторе от расстройки приведена на рис. 28.
Рис. 27. Семейство нормированных резонансных кривых для разных значений добротности Q0. | Рис. 28. Зависимость фазы напряжения на сопротивлении R от расстройки. |
Исходя из операций с комплексными амплитудами, легко получить выражения для напряжений на всех элементах рассматриваемого колебательного контура. Для комплексной амплитуды напряжения на конденсаторе получаем
.
Соответственно, фаза напряжения на конденсаторе сдвинута относительно фазы напряжения на резисторе на -p/2. Резонанс напряжения на ёмкости получается при , т. е. при более низкой, чем w0 частоте w1.
Для комплексной амплитуды напряжения на индуктивности получаем
.
Фаза напряжения на индуктивности сдвинута относительно фазы напряжения на резисторе на p/2. Резонанс напряжения на индуктивности достигается при , т. е. на более высокой, чем w0 частоте w1. Нужно отметить, что для достаточно высокой добротности контура эта разница частот резонанса напряжений на резисторе, конденсаторе и индуктивности несущественна. Все три максимума совпадают только при Q0 ® ¥.
Дата добавления: 2019-02-08; просмотров: 667;