Динамика твердого тела

Для характеристики внешнего действия на тело, приводящего к изменению его вращательного движения, вводится понятие момента силы.

Моментом силы относительно некоторой точки О называется векторная величина

M , равная векторному произведению радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы F, и вектора этой силы: . По модулю М=rFsinα. Вектор М всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора r и F(Рис.1)

Рис.1

Моментом импульса частицы относительно некоторой точки О называется векторная величина L, равная векторному произведению радиуса-вектора r , проведенного из точки О в место нахождения этой частицы, и вектора ее импульсаp: L=[r×p].

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки m на квадрат расстояния r от оси

J =mr².

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело. В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm момент инерции определяется интегрированием:

.

Основное уравнение динамики вращательного движения

,

где

– момент импульса;

– момент сил, действующих на тело, относительно начала координат;

r – радиус-вектор точки приложения силы;

w– угловая скорость вращения в плоскости векторов (r,p);

e– угловая скорость вращения в этой же плоскости;

J – момент инерции тела относительно оси вращения.

Собственные моменты инерции некоторых тел массы m:

1) тонкое кольцо, обруч, тонкостенный цилиндр радиуса R

а) относительно оси симметрии

;

б) относительно оси параллельной плоскости кольца, обруча

;

2) тонкий диск, сплошной цилиндр радиуса R

а) относительно оси симметрии

;

б) относительно оси параллельной плоскости тонкого диска

;

3) сплошной шар радиуса R

;

4) тонкий стержень длины L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно оси стержня

.

Закон сохранения момента импульса свободной системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси

,

где J₁, J₂ и w₁, w₂ – моменты инерции системы и угловые скорости вращения в моменты времени t₁ и t₂, соответственно.

Кинетическая энергия вращающегося тела

.