Лекция14. Поверхности второго порядка
Определение. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства координаты x , y которых , удовлетворяют уравнению
(1)
. Сфера.
Если в уравнении (1) отсутствуют члены с произведением переменных , а коэффициенты при квадратах равны , то это всегда уравнение сферы , его можно привести к каноническому виду : (x - , где
С ( - центр сферы , а R – радиус.
Цилиндрическиеповерхности.
Определение.Поверхность , составленная из всех прямых , пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой , называется цилиндрическойповерхностью. При этом линия L –направляющая , а линия - образующая.
Рассмотрим в плоскости OXY некоторую линию L , имеющую в системе координат уравнение
F ( x , y ) = 0 (2)
Покажем , что это уравнение цилиндрической поверхности.
z Точка N – проекция точки М на плоскость XOY,
точка N лежит на L и удовлетворяет уравнению
(2). Точки M и N имеют одну и ту же абсциссу и
.M(x,y,z) ординату , и удовлетворяют уравнению (2), так
0 y как оно не содержит z. Координаты другой точки
не удовлетворяют уравнению (2). Таким обра-
x .N L -зом координаты любой точки цилиндрической
поверхности удовлетворяют уравнению (2) , что
и хотели доказать.
Уравнение F(x, y)=0является уравнением цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси OZ и направляющей L , которая в плоскости OXY задаётся тем же уравнением F (x , y )=0. Аналогично , можно показать , что уравнение F (x , z )= 0 – уравнение цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси OY, F (y ,z ) = 0 –уравнение цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси OX. - эллиптический цилиндр с образующими параллельными
z оси OZ , если , то круговой цилиндр.
0 y
2. - – гиперболический3. – параболическийци-
цилиндр . –линдр , с образующими , парал-
лельными оси OX.
Z z
0 y 0 y
X x
. Коническиеповерхности.
Определение. Поверхность , составленная из всех прямых , пересекающих линию L и проходящих через данную точку Р , называется конической поверхностью. Линия L называется направляющей, точка Р - вершиной , а каждая из прямых , составляющих коническую поверхность – образующей .
Рассмотрим коническую поверхность с вершиной в начале координат и направляющей – эллипс.
(1) Это конус второго порядка.
Выберем произвольную точку М (x , y , z ) и проведём образующую ОМ , пересекающую направляющую в точке N ( X , Y , C ). Уравнение прямой ОМ , прохо-
z дящей через две точки О ( 0,0 ,0 ) и
L .N N ( X , Y , C ) имеет вид :
.M или отсюда
0 y X = , Y = эти значения подста-
x вим в (1).
→ Каноническое уравнение конуса 2-го порядка , симметричного относительно оси OZ.
Если , то → прямой круговой конус.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1971;