Полярная система координат

Определение. Кривой второго порядка называется линия , определяемая уравнением второй степени A

1). Окружность – геометрическое место точек равноудалённых от одной точки , называемой центром.

Каноническое уравнение окружности ( C( b )-центр окружности , r – радиус окружности

Пример.Привести уравнение окружности к каноническому виду.

Решение.Выделяем полные квадраты при переменных и

( (

Ответ. ( , C (1,-2) r = 4.

2). Эллипс.

Определение. Эллипсомназывается множество точек плоскости , сумма расстояний каждой из которых от 2-х данных точек этой плоскости , называемых фокусами , есть величина постоянная ( при условии , что эта величина больше расстояния между фокусами).

y.М(x,y)М ; M ; ;

r₁ r₂ M ; M

F₁ 0 F₂ x M . M

+ = 2

F₁ (-c,0) ; F₂ (c;0). После освобождения от корней и , про-

ведя некоторые преобразования , получим каноническое уравнение эллипса

, где

y

B Точки пересечения с осями: x = 0 ,y , y = 0,

x = . A большая ось. B малая ось.

A a . 0 A₁ x Определение.Отношение экс -

В В₁ 51

центриситет эллипса. ,

Пример.Построить эллипс , найти и фокусы.

Решение.Уравнение запишем в виде , , c= Чтобы построить эллипс , на осях координат отложим 2 по оси оx , 2b = 4 по оси оy, построим прямоугольник со сторонами 8 и 4 и в него впишем эллипс. y

4 4 x

3). Гипербола.

Определение.Гипербола– это геометрическое место точек абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от 2-х данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная ( при условии , что эта величина не равна нулю и меньше расстояния между фокусами).

y .M(x,y) M

r₁ r₂ Проделав преобразования , получим каноничес-

F₁(-c,0)F₂(c,0)x коеуравнение гиперболы: , где

;2b – мнимаяось; 2 – действитель-

наяось. - асимптоты гиперболы ;

b – эксцентриситет гиперболы . Гипербо-

a a ла симметрична относительно оси оx и оy.

b Для построения гиперболы на оси оx отложим 2 ,

на оси оy 2b , строим прямоугольник с этими сто-

ронами , проводим в нём диагонали – это асимптоты гиперболы . Гипербола называется равнобочной , если Две гиперболы и называются

сопряжёнными . Фокальные радиусы ,

4).Парабола .

Определение.Парабола – множество точек , равноудалённых от данной точки , называемой фокусом и данной прямой , называемой директрисой(фокус не лежит на директрисе).

y Уравнение директрисы : .MN = MF.

. M(x,y) F( , MN = QM + QN = ,

, приравняем

, возведём в квадрат

y или

x= , получим

0F( x – каноническоеуравнение

параболы.

Если уравнение параболы имеет вид , ,

то парабола симметрична относительно оси оy, а уравнение директрисы y = - .y

0 x

Пример.Дана парабола y² = 6x . Составить уравнение её директрисы и найти её фокус.

Решение. 2p = 6 ; p = 3 , x= - →уравнение директрисы. F( →фокус.