Лекция 8. Исследование функции с помощью производной: интервалы монотонности и экстремумы функции. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков.

Необходимое условие возрастания и убывания функции.

Из определений возрастающей и убывающей функций следует необходимое условие возрастания и убывания функции.

Т. Если дифференцируемая функция возрастает ( ) на сегменте , то ее первая производная . Если диффе-ренцируемая функция ( ) убывает на сегменте , то ее первая производная .

Док-во. Пусть дифференцируемая функция возрастает на сегменте . Возьмем произвольную точку и дадим ей приращение . Тогда в силу возрастания функции ее приращение . Отсюда следует, что величина . Совершая предельный переход в этом неравенстве при , получим . Аналогично теорема доказывается в случае, когда функция убывает на сегменте .

С геометрической точки зрения возрастающая на сегменте функция в каждой точке своего графика характеризуется касательной, которая образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол. Если функция убывает на сегменте , то касательная образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол.

Пример Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Из графика этой функции видно, что и . Согласно необходимому признаку возрастания и убывания функции вычислим ее первую производную: . Эта производная будет отрицательной и положительной величиной. Следовательно, в полном соответствии с графиком функции и .

Достаточное условие возрастания и убывания функции.

Т. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале . Если ее первая производная , то функция возрастает на сегменте . Если ее первая производная , то функция убывает на сегменте .

Док-во. Пусть первая производная функции . Возьмем из этого интервала две любые точки и (для определенности примем, что ). Тогда по теореме Лагранжа на интервале найдется хотя бы одна точка такая, что . Так как на интервале и , следовательно, . Таким образом, функция возрастает на сегменте . В силу произвольности выбранных точек и полученное утверждение справедливо для всего сегмента . Достаточное условие убывания функции на сегменте доказать самостоятельно.

Условия постоянства функции на сегменте .

Т. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале . Если ее первая производная , то функция постоянна на сегменте .

Док-во. Пусть первая производная функции . Возьмем произвольную точку и рассмотрим сегмент . На этом сегменте выполняются все условия теоремы Лагранжа, следовательно, , где . Так как по условию теоремы , то и точке первая производная функции обращается в ноль. Отсюда получаем, что . В силу произвольности точки полученное равенство выполняется , т.е. функция постоянна на сегменте .

Минимум и максимум (экстремумы) функции.

Пусть функция непрерывна в точке .

Опр. Функция имеет в точке минимум ( ), если существует такая -окрестность точки , что значение функции в любой другой точке из -окрестность точки превышает значение функции в самой точке , т.е. выполняется неравенство .

Обозначение .

Опр. Функция имеет в точке максимум ( ), если существует такая -окрестность точки , что значение функции в любой другой точке из -окрестность точки меньше значения функции в самой точке , т.е. выполняется неравенство .

Обозначение .

Пример Найти на заданном графике точки максимума и минимума на рисунке.

Опр. Точки минимума и максимума объединяются под общим названием точки экстремума.

Точки экстремума всегда являются внутренними точками области определения функции.

Не следует путать минимальное значение функции с наименьшим значением функции на сегменте , максимальное значение функции – с наибольшим значением функции на сегменте .

Из определения экстремума следует, что в точке минимума выполняется неравенство , а в точке максимума – в некоторой малой -окрестности точки .

Необходимое условие существования экстремума функции.

Т4. Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то ее первая производная в этой точке равна нулю, т.е. .

Док-во. Пусть в точке функция имеет максимум. Так как функция дифференцируема в точке , то в этой точке существует ее первая производная . При стремлении (слева) приращение аргумента , а приращение функции , следовательно,

. При стремлении (справа) приращение аргумента , а приращение функции , следовательно, .

Так как производная в точке не может одновременно быть и отрицательной и положительной, то в этой точке она равна нулю, т.е. . Случай, когда в точке наблюдается минимум, доказать самостоятельно.

Обращение в нуль первой производной функции в точке является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума в этой точке. Непрерывная функция может иметь экстремум в точке даже в том случае, когда ее первая производная в этой точке не существует. В этом случае говорят об “острых” экстремумах.

Опр. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими (стационарными или подозрительными на экстремум).

Всякая точка экстремума является критической точкой, однако не любая критическая точка будет экстремумом.

Пример Доказать, что функция не имеет экстремума в точке .

В точке первая производная функции . Однако из графика кубической параболы видно, что в точке она экстремума не имеет. Следовательно, исследуемая точка является критической точкой, но не точкой экстремума.

Первый и второй достаточные признаки существования экстремума.

Первый достаточный признак существования экстремума дается теоремой:

Т1. Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме может быть самой точки , и при переходе через эту точку слева направо ее первая производная меняет свой знак с “+” на “–”, то в точке функция имеет максимум, а если ее первая производная меняет свой знак с “–” на “+”, то в точке функция имеет минимум. Если при переходе через точку первая производная не меняет свой знак, то в этой точке экстремума нет.

Второй достаточный признак существования экстремума дается теоремой:

Т2. Если в точке первая производная функци обращается в ноль ( ), а вторая производная существует, непрерывна в некоторой окрестности этой точки и отлична от нуля в самой точке ( ), то в точке наблюдается экстремум. Если при этом , то точка является точкой минимума, а при – точкой максимума.

Пример. Найти и определить тип экстремумов функции .

Вычислим первую производную функции и приравняем ее к нулю с целью отыскания критических точек: . Так как показательная функция , то . Отсюда находим критические точки и . Отложим эти точки на числовой оси и на каждом интервале определим знак первой производной функции, т.е. применим первый достаточный признак существования экстремума:

При переходе слева направо через точку первая производная функция меняет свой знак с “–” на “+”, следовательно, в этой точке наблюдается минимум. При переходе слева направо через точку первая производная функция меняет свой знак с “+” на “–”, следовательно, в этой точке наблюдается максимум. Применим второй достаточный признак существования экстремума, для чего вычислим вторую производную функции: . Вычислим значение второй производной функции в точке : , следовательно, в этой точке функция имеет минимум. Вычислим значение второй производной функции в точке : , следовательно, в этой точке функция имеет максимум.

Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте .

Пусть функция непрерывна на сегменте и имеет конечное число точек экстремума на этом интервале. Если наибольшее значение функция достигает внутри сегмента, то очевидно, что это будет один из максимумов (аналогично для наименьшего значения – один из минимумов). Однако возможны варианты, когда функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений на концах заданного сегмента. Поэтому для отыскания этих значений применяют следующую схему:

1. Находят область определения функции и убеждаются в том, что заданный сегмент входит в эту область.

2. Находят критические точки, для чего решают уравнение , и точки, в которых первая производная функции не существует.

3. Вычисляют значения функции в критических точках, принадлежащих заданному сегменту, в точках, в которых первая производная функции не существует и на концах заданного сегмента.

4. Из полученных чисел выбирают наименьшее и наибольшее .

Пример Найти наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте .

Действуя согласно вышеприведенной схеме, находим:

1. . Следовательно, функция определена и непрерывна на заданном сегменте.

2. Вычислим первую производную . Производная существует на всей числовой оси, поэтому найдем критические точки . Отсюда находим, что и .

3. Вычислим значение функции в критических точках и на концах заданного сегмента: .

4. Из полученных чисел выбираем наименьшее и наибольшее , которые определяют наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте .

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Опр. График функции называется выпуклым на интервале , если он лежит ниже любой касательной, проведенной к графику этой функции на заданном интервале.

Опр. График функции называется вогнутым на интервале , если он лежит выше любой касательной, проведенной к графику этой функции на заданном интервале.

Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции на том или ином интервале определяются теоремой:

Т3. Если вторая производная функции на интервале существует и положительна, то на этом интервале график функции будет вогнутым. Если вторая производная функции на интервале существует и отрицательна, то на этом интервале график функции будет выпуклым.

Пример Определить интервалы вогнутости и выпуклости графика функции .

Найдем вторую производную от заданной функции . В силу того, что , то график функции будет вогнутым на всей числовой оси.

Пример Определить интервалы вогнутости и выпуклости графика функции .

Найдем вторую производную от заданной функции . В силу того, что , то график функции будет выпуклым при отрицательных значениях аргумента и вогнутым при положительных значениях аргумента.

Опр. Точка, отделяющая вогнутую часть графика функции от выпуклой (или выпуклую часть графика функции от вогнутой), называется точкой перегиба.

Выясним необходимые и достаточные условия существования точек перегиба.

Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.

Рассмотрим необходимое условие существования точки перегиба.

Т. Если функция дважды непрерывно дифференцируема на некотором интервале, содержащем точку перегиба , то в точке перегиба вторая производная равна нулю, т.е. .

Обращение в нуль второй производной функции в точке перегиба является необходимым, но не достаточным условием существования такой точки на графике функции.

Пример Доказать, что точка не является точкой перегиба графика функции .

Если вычислить вторую производную от заданной функции, то она будет равна . Если приравнять это выражение к нулю, то получим, что точка должна быть точкой перегиба графика функции . Однако график этой функции на всей числовой оси является вогнутым, т.е. точка не является точкой перегиба графика функции . В связи с этим рассмотрим достаточное условие существования точки перегиба.

Т. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на некотором интервале, вторая производная которой в точке , принадлежащей этому интервалу, обращается в нуль ( ) или не существует. Если при переходе через точку вторая производная функции меняет свой знак, то точка определяет точку перегиба графика функции .

Пример Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Найдем вторую производную заданной функции . Найдем точки подозрительные на перегиб: а) б) – не существует знаменатель дроби обращается в ноль при и . Отложим эти точки на числовой оси и определим знак второй производной на каждом интервале:

Из рисунка видно, что точка является точкой перегиба, так как при переходе через нее вторая производная изменяет свой знак. Точка не является точкой перегиба, так как при переходе через нее вторая производная не изменяет своего знака.

Асимптоты графика функции .

В большинстве практических случаев необходимо знать поведение функции при неограниченном росте (убыли) аргумента. Одним из наиболее интересных случаев, которые возникают при таком исследовании, является случай, когда график функции неограниченно приближается к некоторой прямой.

Опр. Прямая ( ): называется асимптотой графика функции , если расстояние от переменной точки графика до этой прямой стремится к нулю при стремлении аргумента , т.е. .

График функции может приближаться к асимптоте сверху, снизу, слева, справа или колеблясь возле этой прямой.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Опр. Вертикальная прямая называется вертикальной асимптотой, если . Горизонтальная прямая называется горизонтальной асимптотой, если . Прямая называется наклонной асимптотой (параметр и параметр отличаются от и ).

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты: если , то наклонная асимптота вырождается в горизонтальную , при условии, что . Если параметр , то горизонтальной асимптоты нет.

Полная схема исследования функции с помощью производных.

Из изложенного ранее материала следует следующая схема исследования функции с помощью производных:

1. Находят область определения функции. При наличии точек разрыва II рода изучают поведение функции в их малой окрестности, т.е. вычисляют лево- и правосторонние пределы. При задании функции словесным образом также вычисляют лево- и правосторонние пределы для граничных точек интервалов, на которых функция описывается разными формулами.

2. Находят точки пересечения с координатными осями.

3. Определяют четная, нечетная или общего вида заданная функция.

4. Определяют периодическая или непериодическая заданная функция.

5. Находят критические точки, решая уравнение , и определяют точки, в которых первая производная функции не существует. Точки откладывают на числовой оси и определяют знак первой производной на каждом интервале, определяя тем самым интервалы возрастания ( ) и убывания ( ) функции. Используя первый достаточный признак существования экстремума, находят точки экстремума и вычисляют значение функции в этих точках.

6. Находят точки подозрительные на перегиб, решая уравнение , и определяют точки, в которых вторая производная функции не существует. Точки откладывают на числовой оси и определяют знак второй производной на каждом интервале, определяя тем самым интервалы вогнутости ( ) и выпуклости ( ) функции. Используя достаточный признак существования точки перегиба, находят точки перегиба и вычисляют значение функции в этих точках.

7. Находят асимптоты графика функции.

8. Результаты исследования заносят в сводную таблицу.

9. По данным таблицы строят схематичный график функции.

З4. При нахождении области определения функции надо помнить о действиях, запрещенных в области действительного переменного:

– нельзя делить на нуль, поэтому выражение, стоящее в знаменателе дроби, не должно равняться нулю;

– нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа, поэтому выражение, стоящее под корнем четной степени, должно быть неотрицательным ( );

– основание логарифмической функции должно быть строго положительным и не равным единице;

– выражение, стоящее под логарифмом, должно быть строго положительным;

– выражение, стоящее под знаком или , по модулю не должно превышать единицу ( ).

Пример Исследовать и построить схематичный график функции .

Используя схему исследования графика функции с помощью производных, найдем:

1. .

2. Найдем точки пересечения графика функции с координатными осями

, т.е. – точка пересечения с осью абсцисс;

, т.е. – точка пересечения с осью ординат.

3. Вычислим – функция общего вида.

4. Функция непериодическая.

5. Найдем первую производную функции , которая существует на всей числовой оси, следовательно, найдем критические точки, решая уравнение . Отложим найденную точку на числовой оси и определим знак первой производной на каждом интервале

Из рисунка видно, что и . Так как при переходе слева направо через точку первая производная меняет свой знак с “–” на “+”, то в этой точке наблюдается минимум. Вычислим значение функции в минимуме .

6. Найдем вторую производную функции , которая существует на всей числовой оси, следовательно, найдем точки, подозрительные на перегиб, решая уравнение . Отложим найденную точку на числовой оси и определим знак второй производной на каждом интервале

Из рисунка видно, что и . Так как при переходе слева направо через точку вторая производная меняет свой знак, то в этой точке наблюдается точка перегиба. Вычислим значение функции в точке перегиба .

7. Найдем асимптоты графика функции, для чего вычислим угловой коэффициент прямой . Таким образом, при асимптот нет, а при возможна горизонтальная асимптота. Вычислим параметр . Следовательно, график заданной функции имеет горизонтальную асимптоту .

8. Построим сводную таблицу

Интервал

– точка пересечения с координатными осями.

– горизонтальная асимптота.

9. Построим схематичный график функции, выбрав по координатным осям разные масштабы измерения

Лекция 9. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод разложения, метод замены переменной.

При решении многих практических задач таких, как вычисление длин линий, площадей, отыскание траекторий движения и других, вводится понятие интегрирования.

Опр. Первообразной функции называется такая функция , первая производная от которой равна заданной функции, т.е. .

Т. (о существовании первообразной) Если функция непрерывна на сегменте , то на этом интервале существует первообразная этой функции.

Т. Если – первообразная функции , то функция ( – произвольная постоянная) также является первообразной функции .

Док-во. .

Т. Если и первообразные функции , то они отличаются друг от друга на постоянную величину.

Док-во. Пусть и . Введем в рассмотрение вспомогательную функцию и рассмотрим эту функцию на открытом интервале . По теореме Лагранжа для любого интервала выполняется равенство , где . По условию теоремы , следовательно, В силу произвольности точек и полученное равенство выполняется для всего исследуемого интервала. Это означает, что , откуда и вытекает утверждение теоремы.

Пример Пусть дана функция . Найти первообразную этой функции. В случае наличия двух первообразных показать, что они отличаются на постоянную величину.

Для функции существуют две первообразные и . Их разность .

Опр. Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается , где – переменная интегрирования, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

На основании теорем можно записать, что .

Опр. Отыскание всех первообразных называется неопределенным интегрированием.

Выясним геометрический смысл неопределенного интеграла. Пусть дана функция и требуется найти такую кривую , для которой в каждой ее точке тангенс угла наклона касательной равен значению функции в этой точке. Такой линией будет кривая, для которой . Таким образом, неопределенный интеграл определяет все кривые, у которых тангенс угла наклона в каждой ее точке совпадает со значением функции .