Лекция 13. Задачи математической статистики. Выборка. Вариационный ряд.

Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Одной из главных задач статистики является принятие решений на основании сделанных наблюдений.

В некотором смысле задачи математической статистики обратны задачам теории вероятностей: имея дело только с экспериментально полученными значениями случайных величин, статистика ставит своей целью выдвижение и проверку гипотез о распределении этих случайных величин и оценку параметров их распределения.

Обычно полученные наблюдаемые данные представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел, зачастую бывает трудно выявить какую-либо закономерность их изменения (варьирования). Для изучения закономерностей (если таковые имеются) варьирования значений, случайной величины опытные данные подвергают обработке.

Пример 1. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х – неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Здесь, очевидно Х является дискретной случайной величиной, а полученные о ней сведения представляют собой статистические данные.

Операция, заключающаяся в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, то есть наблюдаемые значения случайной величины, располагают в порядке неубывания, называется ранжированием опытных данных. После проведения операции ранжирования, данные нетрудно объединить в группы, т.е. сгруппировать так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины будут одинаковые. Ранжируем и сгруппируем данные из примера 1.

0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 7.

Из полученного ряда чисел видно, что все 60 значений СВ разбиты на семь групп. Таким образом, имеется семь различных значений СВХ: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7.

Опишем рассмотренный пример в терминах математической статистики.

Опр. Совокупность всех подлежащих изучению объектов или результатов всех мыслимых наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом, называется генеральной совокупностью.

Опр. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Число объектов в генеральной (выборочной) совокупности называется её объемом и обозначается N (n для выборки).

В примере 1, где наблюдалось число неправильных соединений в минуту на телефонной станции, генеральной совокупностью будет число неправильных соединений в минуту за все время работы станции. Наблюдения, которые представлены в примере 1. являются выборочной совокупностью, объем которой n = 60.

Опр. Ранжированная выборка называется вариационным рядом. Различные элементы вариационного ряда называются вариантами.

Таким образом, в примере 1 СВ Х имеет семь различных вариантов: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7.

Число n_i, показывающее сколько раз одна и та же варианта x_i встречается в вариационном ряду называется, частотой этой варианты, очевидно, что n = n₁ +…+ n_k, где k – число различных вариант в заданном вариационном ряду.

В рассмотренном примере варианты имеют следующие частоты: 8; 17; 16; 10; 6; 2; 1 соответственно, и 60 = 8 + 17 + 16 + 10 + 6 + 2 + 1.

Опр. Отношение частоты данной варианты к объему всей выборки называется относительной частотой варианты. Относительная частота варианты х_i обычно обозначается w_i = .

В нашем примере варианты имеют следующие относительные частоты: 0,13; 0,28; 0,27; 0,17; 0,1; 0,03; 0,02. Заметим, что сумма всех относительных частот равна 1.

Опр. Перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом.

СВ Х из примера 1. имеет следующее статистическое распределение частот и относительных частот

Для решения многих задач удобно изображать статистическое распределение графически.

Полигоном частот (относительных частот) называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁, n₁); (x₂, n₂); …; (x_k, n_k) (для относительных частот: (x₁, w₁); (x₂, w₂); …; (x_k, w_k)).

Полигон относительных частот СВ Х из примера 1 изображен на рисунке