Лекция 7. Определение производной. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Производные основных элементарных функций.
Приращение аргумента и функции.
Пусть дан график непрерывной функции.
Опр. Разность между конечным и начальным значениями аргумента называется его приращением, т.е. . При этом функция получает при-ращение :
Т. Если , то функция непрерывна в точке .
Док-во. Приращение функции , следовательно, функция определена как в самой точке , так и в ее -окрестности. При аргумент , поэтому
.
Отсюда следует, что , следовательно, функция непрерывна в точке .
Задачи, приводящие к понятию производной.
Пусть материальная точка движется прямолинейно согласно закону , где – путь, который проходит точка за время . Требуется определить скорость движения точки в момент времени . Обозначим через путь, пройденный за время . Очевидно, что . Средняя скорость, с которой движется точка определяется как . Для того чтобы определить скорость в момент времени , вычислим предел
.
Пусть дан график функции . Требуется найти такую прямую линию, которая касается графика функции только в одной точке .
Опр. Касательной называется предельное положение секущей прямой при стремлении произвольным образом.
Вычислим тангенс угла наклона секущей . Следовательно, тангенс угла касательной к положительному направлению оси абсцисс будет равен предельному значению приведенной выше величины .
Производная функции. Ее механический и геометрический смысл.
Опр. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последней величины к нулю произвольным образом, т. е. .
Из рассмотренных выше задач следует, что с точки зрения механики производная определяет мгновенную скорость движения, а с геометрической точки зрения производная функции равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс в заданной точке, в которой вычисляется значение производной.
Уравнение касательной и нормали в заданной точке графика функции .
Пусть дан график функции
Требуется составить уравнения касательной и нормали в точке . Для составления уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом: . В силу того, что , уравнение касательной имеет вид: . Так как нормаль перпендикулярна к касательной, то ее угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной соотношением: . Следовательно, уравнение нормали имеет следующий вид: .
Пример Найти угловой коэффициент касательной в точке к графику функции .
Так как , то вычислим производную функции, используя определение производной: ;
; ; следовательно,
.
Вычислим значение производной в точке , а тем самым и угловой коэффициент касательной в заданной точке .
Пример Составить уравнение касательной для предыдущего примера (самостоятельно).
Дифференцируемость непрерывных функций.
Опр. Нахождение конечной производной от непрерывной функции называется дифференцированием.
Т. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке функция непрерывна.
Док-во. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существует конечный предел . Используя свойство 4 для бесконечно малых функций, можно записать, что , где – бесконечно малая функция в -окрестности точки . Отсюда следует, что . Вычислим предел этого выражения при . Так как при функция , как бесконечно малая функция, а производная остается неизменной, то
.
По Т получаем, что функция непрерывна в точке . В силу произвольности точки функция будет непрерывна в любой точке своей области определения.
Утверждение, обратное к рассмотренному в Т2, что всякая непрерывная в точке функция будет в этой точке дифференцируема, будет верным не во всех случаях, т.е. не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.
Пример Дифференцируема ли функция в точке .
Изобразим график данной функции
В точке данная функция определена, имеет равные лево- и правосторонние пределы (пределы равны нулю), которые равны значению функции в этой точке, следовательно, функция непрерывна в точке . Однако в этой точке производная не существует, так как слева , а справа . Отсюда следует, что в точке производной нет.
Пример Дифференцируема ли функция в точке .
В точке данная функция непрерывна (доказать самостоятельно), однако в данной точке производная равна , т.е. в точке производная бесконечна.
Правила дифференцирования.
1). Производная от суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных от этих функций, т.е. .
Док-во. Пусть , тогда в приращенной точке функция равна
.
Приращение функции будет равно: , а значит производная от приведенной функции
.
Производная от суммы (разности) любого числа функций равна сумме (разности) производных от этих функций.
2). Производная от произведения двух функций вычисляется по формуле:
.
Док-во. Пусть , тогда в приращенной точке функция равна
.
Приращение функции будет равно: , а значит производная от приведенной функции
(так функции непрерывны, то при и приращение )
= .
3). Производная от частного двух функций вычисляется согласно формуле:
(доказать самостоятельно).
4). Производная от обратной функции вычисляется по формуле: .
Док-во. Так как (при и приращение , следовательно,) или .
5). Производная от сложной функции вычисляется по формуле:
.
Док-во. Так как (при и приращение , следовательно,) или .
Производная от основных элементарных функций.
1). Постоянная функция . Вычислим приращение постоянной функции . Отношение приращения функции к приращению аргумента . Следовательно, , т.е. производная от постоянной величины равна нулю.
Сл1. При вычислении производной от произведения константы на функцию получаем , т.е. постотянный множитель можно выносить за знак производной.
Сл2. Аналогично поступают при вычислении производной от частного
или .
2). Логарифмическая функция . Используя определение производной, находим
(выражение в квадратных скобках стремится к числу по второму замечательному пределу) .
Сл1. Производная от сложной логарифмической функции равна
.
Сл2. Если основание логарифма , то .
3). Степенная функция . Для нахождения производной от этой функции воспользуемся методом логарифмического дифференцирования, то есть . Возьмем натуральный логарифм от степенной функции . Отсюда находим . Таким образом, . Для сложной функции эта формула имеет следующий вид .
Сл. Наиболее распространенными являются случаи:
а) : (см. Сл2. для постоянной функции этого пункта);
б) : ; в) : .
4). Показательная функция . Воспользуемся логарифмическим дифференцированием . Отсюда находим . Для сложной функции эта формула имеет следующий вид .
Сл. Если основание показательной функции , то . В случае сложной функции производная равна .
5). Тригонометрические функции: а) . Вычислим производную от синуса
.
При выводе формулы был использован первый замечательный предел. Для сложной функции производная равна .
Самостоятельно получить формулы для других тригонометрических функций:
б) . ; .
в) . ; .
г) . ; .
6). Обратные тригонометрические функции:
а) . Вычислим производную от арксинуса, для чего от обеих частей равенства возьмем функцию синус, то есть найдем обратную функцию . Беря производную от обеих частей равенства с учетом того факта, что функция, стоящая справа, является сложной, получим
.
Отсюда находим, что .
Для сложной функции . Самостоятельно получить формулы для других обратных тригонометрических функций:
б) ; ; .
в) ; ; .
г) ; ; .
Пример Найти производную функции .
По правилу дифференцирования сложной функции и с учетом выражения для логарифмической и показательной функций имеем .
Пример Найти производную функции .
В данном случае производная .
Полученные производные от элементарных функций сведем в таблицу:
№ п/п | Функция | Производная элементарной функции | Производная сложной функции | |
Производная от параметрически и неявно заданных функций.
Опр. Если функция задается в виде системы уравнений , то говорят, что функция задана в параметрическом виде.
Чтобы продифференцировать параметрически заданную функцию, надо из первого уравнения системы найти обратную функцию и подставить ее во второе уравнение системы. В результаты этих действий получается сложная функция, производная от которой равна . Так как производная от обратной функции связана с производной исходной функции равенством , то формула для производной от параметрически заданной функции принимает вид: .
Пример. Найти производную функции .
Вычислим производные от заданных функций по параметру :
. Следовательно, .
Опр. Если функция задается в виде соотношения , из которого нельзя явно выразить переменную через или наоборот, то говорят, что функция задана в неявном виде.
Дифференцирование таких функций осуществляется с учетом того, что переменная является сложной функцией, т.е. зависит от переменной .
Пример Найти производную функции .
Продифференцируем данное соотношение с учетом вышеизложенного материала получим . Отсюда находим, что . С учетом исходного равенства полученное выражение определяет производную от неявно заданной функции.
Опр. Производная от первой производной функции называется второй производной функции, т.е. .
Аналогично вводятся дифференциалы и производные высших порядков:
и так далее.
Отметим, что обозначение производной, начиная с четвертой, берется в скобки.
Производные высших порядков могут быть записаны в виде
и т. д.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2539;