Как доказывать равенство множеств?

Многие математические утверждения, в том числе и многие теоремы в этой книге, имеют следующую форму. Даны разные определения двух множеств A и B. Требуется доказать, что A = B.

Стандартный способ доказательства такого утверждения состоит в доказательстве двух утверждений о включениях:

1. и

2.

Доказательства этих включений проводятся по такой схеме: рассматривается произвольный элемент, удовлетворяющий определению меньшего множества (слева от знака ), и устанавливается, что он удовлетворяет также определению большего множества (справа от знака ).

В качестве примера докажем одно из свойств (законов) дистрибутивности для операций объединения и пересечения:

1. Пусть a - произвольный элемент из Тогда по определению операции имеем или В первом случае из того же определения выводим, что и Но тогда по определению операции получаем, что Во втором случае из определения следует, что и Из этого и из определения снова следует, что и и Таким образом, мы установили, что

2. Пусть теперь Тогда по определению операции имеем и Если то оба эти включения выполнены. Но тогда Если же то из первого включения следует, что а из второго - Следовательно, и Таким образом, и наше утверждение доказано.

Используя эту же схему, можно установить много других свойств введенных выше операций над множествами и связей между ними.