МЕТОДИКА 23. Тема: «Прямоугольная система координат в пространстве»

11кл 10-11 кл.–старшая шк, предметы алг и нач ан и геометрия. М-ды обуч: наглядные(..), практические(реш-ие зазл упр-ий), слов, дидак-ие игры(игр сит-ии); по логике излож–дедук м-ды полн; по степени сам-ти-с/р, исслед-кие м-ды.Обуч: ввести пон прямоуг сист коорд в пр-ве; выраб-ть умение строить т. по задан ее коор-там; выраб ум нах-ть коор-ты т., изображ-ой в задан сист коор-т. Разв: разв мировоз(изуч реал действит-ти сред-ми мат), разв позн-ных проц-в, диалект-го мыш-ия, функц-го стиля мышл, разв общеуч-ые умения (раб с книгой).Восп: восп интерес к мат (истор-ий мат), кул-ру общения, осущ-ть эстет-ое, экол-ое восп-ние, профес-ную ориентацию уч-ся, воспит отд кач лич-ти(аккур, последов-сть, трудолюб, ответственность, настойч-сть и др.)Ур. ознак с нов. мат(цель–ввести понятие и устан св-ва или построить прав); Эт ур:I Орг. мом (сообщ-е темы, ц ур. и мот-ция учеб. деят уч-ся).II Подгот к изуч нов. мат (повт-е, актуализация баз-х З).III Ознак с нов. мат.IV Первич осмыс и закрепл изуч. мат-ла.V Постан д/з.VIПодвед ит ур.При изуч нов мат-ла д/достиж мот-ции м/создать проблем сит-ию, столк уч-ся с труд, кот они не м/раз-ть при пом имеющ у них запаса З; сталк-сь с труд, они убежд в необх получ нов З или прим стар в нов сит. М-ды мотив:1.разнооб виды деят-ти 2.яркость эмоц-ть излож мат 3.подбор посильных зад,созд-ие усл для выбора зад разного ур-ня слож и возм-ть скоррек-ть этот выбор в сл неудачи или успеха 4.оперир-ие ранее изуч мат-ом 5. Индивид оцен-ие В кач-ве сред нагляд м/испол презент MS PowerPoint, различ чертежи, схемы, макеты и табл. Пер изуч темы уч-ся м/прочит небол истор-ую справ.

Цели:

Образовательные: -ввести понятие прямоугольной системы координат в пространстве;

- выработать умение строить точку по заданным ее координатам;

- выработать умение находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат.

Развивающие: -развитие мировоззрения;

- развитие логического мышления (в форме понятий, суждений, умозаключений);

- развитие геометрического и абстрактного мышления, речи, памяти.

Воспитательные: -воспитание интереса к математике через задачи, занимательные задачи, дидактические игры;

- воспитание отдельных качеств личности: аккуратности, точности, наблюдательности, самостоятельности.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Примерный план урока

1.Перед изучением темы учащимся можно прочитать небольшую историческую справку: прямоугольные употреблялись в геометрии еще до начала нашей эры. Древний математик александрийской школы Апполоний Пергский (живший в III – II вв. до н.э.) уже пользовался прямоугольными координатами.

Впервые идея координатного метода была систематически развита Пьером Ферма и Рене Декартом. В их формулировках расстояния до координатных осей могли быть только положительными числами или нулем. Важная идея о том, что одно или оба эти расстояния можно также считать и отрицательными, принадлежит Исааку Ньютону. Г.В.Лейбниц первым назвал эти расстояния «координатными»

Таким образом, открытие декартовых координат не принадлежит Декарту. Декарт построил аналитическую геометрию, а в ней, как в фокусе, сошлись математические открытия медленно, с трудом слагавшиеся в течение тысячелетий. Работа Декарта «La Geometric», в которой излагались основные идеи аналитической геометрии на плоскости, была опубликована в 1637г.

- Объяснить правило задания прямоугольной системы координат в пространстве: прямоугольная система координат в пространстве задана, если выбрана точка – начало координат, через эту точку проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление (оно обозначается стрелкой), и задана единица измерения отрезков.

- Используя рис 114 учебника, обратить внимание на обозначения и названия осей координат в пространстве. Сопоставить эти обозначения с соответствующими обозначениями осей координат на плоскости, известными из курсов алгебры и геометрии 7 – 9 классов. (см.: Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 1996 и послед изд.)

- Подчеркнуть, что в прямоугольной системе координат каждой точке М пространства соответствует тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. Можно привести пример, что любую точку Земли можно полностью охарактеризовать широтой, долготой и высотой над уровнем моря.

Для определения координат точки М в пространстве через эту точку проводят три плоскости, перпендикулярные к осям координат. Затем, используя точки М₁, М₂, М₃ пересечения этих плоскостей с осями координат (рис. 115 учебника), находят координаты точки М.

На уроке полезно выполнить упражнения двух типов: на нахождение координат данной точки по чертежу и на построение точки по заданным ее координатам. Для этого можно использовать рис. 116 учебника. Например, для нахождения координаты точки А на этом рисунке, проводим через данную точку перпендикуляр к плоскости ОXY (обозначим его АА₁), а затем через точку А₁ – перпендикуляры к осям ОХ и OY (обозначим их А₁М₁ и А₁М₂). Основания перпендикуляров (точки М₁ и М₂) дают возможность найти абсциссу и ординату точки А, а длина перпендикуляра АА₁ дает аппликату точки А.

Следует объяснить, почему найденные таким образом абсцисса, ордината и аппликата точки А соответствуют данному выше определению координат точки: плоскость АА₁М₁ перпендикулярна к оси OХ, плоскость АА₁М₂ перпендикулярна к оси OY, а плоскость, проходящая через точку А и перпендикулярная к оси OZ, пересекает ось ОZ в точке М₃, такой, что OM₃=АА₁, поэтому точки М₁, М₂, М₃ и есть те самые точки, которые позволяют найти координаты точки А.

- Необходимо уделить внимание нахождению координат точек, лежащих в координатных плоскостях или на осях координат. Если точка М(x, y, z) лежит в плоскости OYZ, то y=0

- Для закрепления навыков нахождения координат точек и построение точек по их заданным координатам можно дать задания: 1. Построить по координатам; 2. По рисунку найти координаты вершин фигуры.

Например, построить по координатам:

Билет № 24.Движение плоскости.

Движением плоскости называется такое ее преобразование, которое сохраняет расстояния между точками (иногда движение называют перемещением). Всякое движение сохраняет длины отрезков, углы между прямыми и площади фигур.

Основные виды движения плоскости:

1. Параллельный перенос. Параллельным переносом плоскости на вектор а называется отображение плоскости T_a : E₂ ® E₂, при котором каждая точка плоскости сдвигается на вектор а , т.е. T_a(M) = M¢, причём = a .

Запишем координатные формулы этого отображения в некоторой декартовой системе координат: если a(a ; b), M(x ; y), M¢(x¢ ; y¢), то (x¢ –x ; y¢ –y) = a(a ; b), откуда находим:

Ясно, что это движение первого рода (с матрицей = ).

2. Поворот. Пусть на плоскости зафиксирована точка С Î Е₂ . Отображение плоскости R_С^j : E₂ ® E₂называется поворотом с центром в точке С на угол j , если для любой точки M Î E₂и её образа M¢ = R_С^j(M) направленный отрезок получается из направленного отрезка поворотом вокруг точки С на угол j . При этом, если j ³ 0, то поворот осуществляется против часовой стрелки, а в случае j < 0 он выполняется по часовой стрелке.

Зафиксируем на плоскости систему декартовых координат и выведем координатные формулы поворота. Пусть вначале С – начало координат.

Тогда точки M и M¢ лежат на одной окружности с центром в т. О и радиусом R = OM. Поэтому x² + y² = R², + = 1, и значит, на­йдётся такой угол a, что = cos a , = sin a , т.е. . Поэтому , и раскрывая по формулам тригонометрии получим: .

Таким образом, получены следующие координатные формулы вращения относительно начала координат:

В общем случае центр вращения имеет координаты С(x₀ ; y₀ ) . Поэтому поворачивается на угол j вектор (x–x₀ ; y–y₀ ) и переходит в вектор (x¢–x₀ ; y¢–y₀ ). Подставляя эти координаты в выведенные формулы, получим:

или .

Итак, получены общие формулы вращения на угол j вокруг произвольного центра С(x₀ ; y₀ ):

Полученные формулы показывают, что поворот является движением первого рода (с матрицей ).

3. Симметрия относительно точки. Пусть на плоскости задана фиксированная точка О Î E₂ . Отображение S_O : E₂ ® E₂ называется симметрией с центром в точке О, если для любой точки M Î E₂ и её образа M¢ = S_O(M) выполняется равенство = – .

Координатные формулы этого преобразования получаются легко: если в некоторой аффинной системе координат O(x₀ ; y₀ ), M(x ; y), M¢(x¢ ; y¢) , то (x–x₀ ; y–y₀ ) = = – (x¢–x₀ ; y¢–y₀ ) Û Û .

Таким образом, получены координатные формулы для симметрии относительно точки:

Эти формулы показывают, что симметрия с центром О является движением первого рода (с ортогональной матрицей = ) и совпадает со вращением вокруг т. О на угол p (сверьте формулы !!!). Итак, S_O = R_O^p .

4. Симметрия относительно прямой. Пусть на плоскости задана фиксированная прямая l . Отображение S_l : E₂ ® E₂ называется симметрией относительно прямой l, если для любой точки M Î E₂ её образ M¢ = S_l(M) симметричен M относительно прямой l . Это значит, что (MM¢) ^ l и M¢ симметрична M относительно точки P = (MM¢) Ç l (см. рис.).

Пусть в некоторой декартовой системе координат прямая l задана общим уравнением A×x+B×y+C = 0 (A²+B² ¹ 0), M(x₀ ; y₀ ). Тогда, как известно, a(–B; A) – нап­равляющий вектор этой прямой, а n(A; B) ^ a . Поэтому параметрическое уравнение прямой (MM¢) имеет вид (t Î R), и можно найти координаты точки P : A×(x₀+A×t) + B×(y₀+B×t) + C = 0 Û t = – . Таким образом, получаем P(x₀ – A× ; y₀ – B× ). Используя выведенные ранее координатные формулы симметрии относительно точки P, отсюда находим:

M¢(–x₀ + 2×( x₀ – A× ) ; –y₀ + 2×( y₀ – B× )) =

= M¢( ; ).

Используя привычные обозначения M(x ; y), M¢(x¢ ; y¢), получим

Ясно, что матрица U = этого аффинного преобразования ортогональна и поэтому имеет вид для некоторого угла j, определяемого условиями . В частности, для прямой l с уравнением y = 0 имеем U = = . Таким образом, симметрия S_l относительно прямой l является движением второго рода.

5. Скользящая симметрия. Это преобразование плоскости S_l,vявляетсякомпозицией двух движений – симметрии относительно прямой l и параллельного переноса на вектор, коллинеарный направляющему вектору этой прямой: S_l,v = T_v×S_l (см. рис.).

Из рисунка видно, что порядок, в котором берётся композиция преобразований в скользящей симметрии несущественен: T_v×S_l = S_l×T_v .

Ясно, что скользящая симметрия, будучи композицией движений первого и второго родов, сама будет движением второго рода. Общие координатные формулы скользящей симметрии запишите сами – приведём только формулы для скользящей симметрии относительно оси OX, когда прямая l задаётся уравнением y = 0, а v(a ; 0):

Оказывается, что все движения плоскости исчерпываются частными видами движений, рассмотренными выше.

Можно доказать, что любое движение плоскости является одним из указанных видов, т.е. других движений плоскости не существует. В этом заключается классификация движения.

Теорема (о классификации движений).(1) Любое движение первого рода является либо тождественным преобразованием плоскости, либо параллельным переносом на некоторый вектор, либо поворотом относительно некоторого центра на какой-то угол.

(2) Любое движение второго рода есть либо осевая симметрия (симметрия относительно прямой), либо скользящая симметрия.

(3) Любое движение плоскости есть либо тождественное преобразование плоскости, либо параллельный перенос на некоторый вектор, либо поворот относительно некоторого центра на какой-то угол, либо осевая или скользящая симметрия.

Задача.На плоскости даны прямая l и две т. A и B. Построить на l т.C, такую, чтобы l являлась биссектрисой .

Построение: 1. Применим осевую симметрию и найдем для т. А симметричную ей т.А^’.

2. Строим прямую ВА’.

3. Находим точку пересечения l (BA’)=C.

4. Строим прямую СА.

В силу осевой симметрии ΔСАО=ΔСА’О против равных сторон лежат равные углы, т.е. .

МЕТОДИКА 24.

Образовательные цели урока:

5-6 классы пропедевтическое изучение геометрических преобразований, создается запас наглядных представлений о симметричных фигурах.

Основной курс, 8 класс тема «Преобразование фигур» (смотри программу). В учебных пособиях по геометрии эта линия представлена по-разному: так в учебнике А.В.Погорелова «Геометрия 7-11» геометрические преобразования являются лишь объектами изучения. Основное внимание уделяется преобразованию подобия: тема - подобие треугольников.

10-11 классы - изучаются преобразования в пространстве - симметрия относительно плоскости.

Цели изучения темы:

Обучающие: знать основные понятия, определение преобразований: симметрии, подобия, подобных треугольников; свойства преобразований, доказательство этих свойств, суть метода преобразований;уметь применять преобразования при решении задач.

Развивающие цели: развитие диалектического мировоззрения: показать связь геометрических преобразований с окружающей действительностью. Развитие логического мышления (в форме понятий, суждений, умозаключений), развитие пространственных представлений и пространственного воображения, так как геометрические преобразования связаны с созданием образа, развитие конструктивных умений и навыков.

Воспитательные цели: воспитание интереса к математике, например, знакомство с различными геометриями. Воспитание отдельных качеств личности: аккуратности, точности, наблюдательности, эстетическое воспитание. И практические цели: показать использование преобразований при решении прикладных задач, например, использование подобия: определение высоты недоступного предмета.

III. Основные положения методики. Само понятие «геометрическое преобразование» и виды преобразований в школьном курсе математики проходит три этапа (как и все понятия):

1) 5-6 классы пропедевтический курс: используются наглядные, практические методы, игровые ситуации (пример: какая из фигур самая симметричная?мысленно установить, сколько осей симметрии имеет каждая фигура.

2) Основной курс геометрии 7-9 классы, изучаются определения преобразований, свойства, доказательства свойств. Используются словесные методы обучения, методы дедукции при сохранении наглядных и практических методов, используется метод координат (математический метод).

3) Закрепление (усвоение) понятий: решение задач, доказательства теорем методом геометрических преобразований. Методы обучения зависят от возраста учащихся, от содержания материала, от этапа усвоения.

Привести пример изучения симметрии относительно точки из учебника «Геометрия 7-11» Погорелова А.В. § 9.

IV. Основные типы задач:

Математические задачи:

1) Построить фигуру с помощью данного преобразования (точку, отрезок, треугольник);

2) Доказать равенство или подобие фигур с помощью преобразований;

3) Доказать какие-либо свойства фигур с помощью преобразований;

4) Решить задачу на построение методом геометрического преобразования.

Учебные задачи: отрабатывать определения, формулировки теорем, методы доказательства, формировать метод геометрических преобразований.

Средства наглядности: Выбор наглядности зависит от возраста, содержания учебного материала.

Виды наглядности:

ü Предметная (восприятие конкретных предметов, опыт, экскурсии).

ü Изобразительная (собственно-изобразительная – конкретные рисунки, символическая – чертежи, схемы, таблицы).

ü Словесная (живая речь учителя).

На данном уроке изучения нового материала можно использовать ИД, где показывают презентации (PP) о движении, поворот, то есть основные понятия.

Мотивация:

Необходимое условие – для создания у учащихся интереса к содержанию обучения и к самой учебной де­ятельности — возможность проявить в учении умственную самостоятельность и инициативность. Чем активнее методы обучения, тем легче заинтересовать ими учащихся. Основное средство воспитания устой­чивого интереса к учению — использование таких вопросов и заданий, решение которых требует от учащихся активной поисковой деятельности.

Большую роль в формировании интереса к учению играет создание проблемной ситуации, столкновение учащихся с трудностью, которую они не могут разре­шить при помощи имеющегося у них запаса знаний; сталкиваясь с трудностью, они убеждаются в необходимости получения новых знаний или применения старых в новой ситуации.. Интересна только та работа, которая требует постоянного напряжения. Легкий материал, не требующий умственного напряжения, не вызывает интереса. Преодоление трудностей в учебной деятельности — важнейшее условие возникновения интереса к ней. Трудность учебного материала и учебной задачи приводит к повышению интереса только тогда, когда эта трудность посильна, преодолима, в противном случае интерес быстро падает.

Данная тема изучается в восьмом классе (Погорелов 7-11), с точки зрения психологии, это подростковый период. Для него характерно: парадоксальный характер, мотивация учения снижена, избирательность интересов, формирование новых форм зрелой мотивации, имеет большое значение положение подростка в классе.

2. Фрагмент урока изучения новой темы: «Движение. Свойства движения».

Цели урока:

Образовательные:

Обучающие: обеспечить в ходе урока усвоения понятий «преобразование», «движение», свойства движения, формировать умение применять преобразования при решении задач, формировать умение изображать на плоскости, формировать умение переводить движением фигуру в фигуру.

Развивающие: способствовать развитию логического мышления, восприятия, памяти, внимания, диалектического мировоззрения, показать связь геометрических преобразований с окружающей действительностью, способствовать развитию пространственных представлений и пространственного воображения, так как геометрические преобразования связаны с созданием образа, развитию конструктивных умений и навыков.

Воспитательные: воспитывать устойчивый интерес к математике, воспитывать отдельные качества личности: настойчивость, трудолюбие.

Тип урока: изучение нового материала

Структура урока:

1. организационный момент
2. постановка целей урока
3. проверка домашнего задания
4. подготовка к изучению нового материала
5. изучение нового материала
6. первичное закрепление и осмысление нового материала
7. постановка домашнего задания
8. подведение итогов урока

Билет № 25.

Важной фигурой в геом. Евклида является многоугольник.

Рассмотрим 2 прямые а и в. Эти прямые делят плоскость на две полуплоскости (каждая из них). Предположим, что т.А = а∩в. Выберем некоторый угол.

Как известно, угол является частью плоскости и определяется как пересечение соответствующих полуплоскостей. Рассм. некот. выпуклую замкнутую линию.

Замкнутая линия наз. выпуклой, если для любого его звена а_i все остальные звенья этой ломаной лежат в одной полуплоскости относительно этого звена.

Простая замкнутая(концы совпадают)ломаная наз. многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Звенья ломаной наз. сторонами мног-ка, а т., в кот. пересекаются эти звенья – вершинами многоуг-ка.

Рассмотрим вопрос о величине многоуг-ка. Под величиной многоуг-ка понимают площадь. Мн-во всех многоуг-ков обозн. М. сами многоуг. бедем обозн. латинскими буквами.

Рас-м отображение F:M®R⁺, каждому мн-ву ставит в соотв. некоторое строго положит-ное действит-ное число (R⁺) Отображение F наз. ф-цией площади, заданной на мн-ве М, если отображение F:M®R⁺, удовлетв. требованиям:

1.если А=В, то F(A) = F(B)

2.если С разбит на 2 многоуг. А и В без общих внутр (.), то F(C)=F(A)+F(B)

3. если А явл. единичным кв-том, т.е. кв-том у кот. сторона º1, то F(A) =1

Число F(М)=Sм и наз. площадью многоуг m.

$ет ли f-ия площади на мн-ве многог-ов М, если $ет, то однозначно ли она определяется?

Предположим вначале, что f-ия площади F $ет, т.е. каждому многоугольнику М в соотв. став-ся число Sм, к-ое наз. его площадью (М® Sм)

Виды многоугольников. Прямоугольник со сторонами а и b.

Разделим М вертик. чертой на 2 прямоуг. А и В

М

A B

b a1 a2

Sм = F(M) = F(a,b) S_А= F(a₁,b); Sв= F(a₂,b)

По 2° f-ции площÞ F (М) = F(A) + F(B) Þ F(a,b) = F(a₁,b) + F (a₂,b) ,т.к а=a₁+a₂Þ F(a₁+a₂,b) = F(a₁,b) + F(a₂,b) (1)

(1)фун-ция F явл. линейной по первому арг. а.

Аналогично разбиваем М горизон.пр. Þ F(a,b₁+b₂)=F(a,b₁)+F(a,b₂) (2)

(2)т.о. f-ия явл. линией по обоим своим арг. т.е. явл. линейной. В теории f-ий док-ся, что всякая линейная f-ия от 2х агр. Имеет след. вид F(x,y)=k x y (3) т.о. Sм= k x y (4)

Воспользовавшись 3° f-ии S: Предположим что М явл. ед.квадратом, т.е. a=b=1, т.к. S=1Þ из (4) Þ1=k*1*1Þ k =1.т.о. (4) принимает окончат-ый вид Sм= ab (I) т.о. Sпрямоуг = произвед. его сторон

Параллелограммс основанием а и высотой h.

Рас-м прямоуг. KNCD. Легко док-ть, что ∆AKD≡∆BNCÞAK=BNÞKN=aÞ S_KNCD=ah (5)с др.стороны и АВСD, и KNCDсостоит из 2х одинаковых частей: ∆AKD (∆BNC); многоугольник KВСD. Применим 1°и 2°Þ S_АВCD =S_KNCDÞ S=ah (II)

М-∆с основанием а и высотой h (III)

Произвольный многоугольникРазобьем его к.-либо образом на ∆-ки, измерим S каждого из полученных ∆-ков по (III)и возьмем сумму этих S.Эта сумма и наз.площдью мног-ника М

Зам-е: S многогранника М не зависит от способа его разбиения.

Идея доказательства следующая: S_А = S_А1 + S_А2;

А1 S_А = S_В1 + S_В2.

А2 В1 В2

Объединив 2 разбиения, получим более мелкое разбиение многоуг-ка М:

Ŝ_А = (S_С2 + S_С3) + (S_С1 + S_С4) = (S_С1 + S_С2) + (S_С3 + S_С4) = S_А1 + S_А2 = S_АÞŜ_А = S_А

Из всего выше сказанного след., что если функция площади F на мн-ве многоуг-в М существует. То она опред-я единственным образом.

Д-м теперь, что ф-ция площади М существует.

Рассм. произв-й мн-к А, разобъем его каким-либо образом на треуг. (А1,А2,…,Аn). S каждого опред-м по (III)

S_А = (IV) – построенная функция удовлетворяет всем 3м требованиям опре-я площади.

Учитывая все сказанное можно сформулировать след. Т:

Теорема(Существование и единственность функции площади)

На мн-ве мног-ков М в евкл. геомет., ф-ция площади сущ-ет и определена единств. образом.

Два многоугольника называются равновеликими , когда их площади равны.

Два мног-ника наз. равносоставленными, если они состоят из одного и того же набора (множества)треугольников.

Теорема:Из равносоставленности двух мног-ков следует их равновеликость ( и наоборот).

Вывод:Из равновеликости двух многогранников не следует их равносоставленность (каждый многогранник можно разбить на тетраэдры).

МЕТОДИКА 25.Урок обобщения и систематизации знаний

МЕТОДЫ:Беседа,Лекци,Работа с учебником.Схематические рисунки,Лабораторные и практические работыДля более успешного выполнения учащимися подобных заданий некоторые учителя практикуют составление учащимися сравнительных таблиц по предварительно разработанной схеме инструкций, в которой сформулирована последовательность выполнения задания на сравнение и обобщение. Подобные задания могут выполняться и устно. Они способствуют повышению эффективности обобщения и систематизации знаний, заготовке необходимых схем инструкций, моделей, образцов, таблиц. Важное значение имеет предупреждение ошибок в знаниях учащихся и своевременное их исправление.

ФРАГМЕНТ УРОКА

Тема урока: Площадь треугольника.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний

Цели урока:

Обучающие: обобщить знания о площади треугольника, закрепить умение решать геометрические задачи на нахождение площади произвольного треугольника, совершенствовать навыки решения задач на применение формул вычисления площадей треугольника.

Развивающие: развивать мышление, речь, память, умение выделять главное, приводить примеры.

Воспитательные: воспитывать общую культуру, активность, самостоятельность, интерес к математике.

Ход урока

Обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий (аукцион – распродажа геометрических фигур (треугольников) и задач о нахождении их площадей).