МЕТОДИКА 22. Прямоугольная система координат на плоскости, абсцисса и ордината точки

<464748 49 50 51 52 >

Виленкин 6 кл. Тема изучается в 6 классе в большой теме «Координаты на плоскости». Основные понятия: координатные прямые, система координат, абсцисса, ордината.

Типы математических ошибок по данной теме: не различают понятия, такие как абсцисса и ордината, положительные и отрицательные числа, направление положительной оси координат, ошибки при построении точки на плоскости координат.

Учебные задачи на устроение ошибок:

Постройте точку по ее координатам
Определите координаты заданной на плоскости точки
Задания вида «рисуем по координатам»
Как определить положение точки на прямой, на плоскости
Как располагаются координатные прямые
Где лежит точка, если ее абсцисса равно нулю, ордината равна нулю.

Методы и средства проверки знаний и умений учащихся.

Контроль знаний и его типы:

Внешний (учитель за учеником)
Взаимный (ученик за учеником)
Самоконтроль (ученик за собственной деятельностью)

Виды контроля:

Контроль по конечному результату: пошаговый (контроль за операциями), контроль за установлением определенных параметров деятельности
По месту в процессе обучения: текущий (в ходе учения), итоговый по теме, по курсу обучения. Текущий может быть: предварительный (установить готовность к обучению), ежедневный, периодический.
В новых педагогических технологиях рассматриваются следующие виды контроля усвоения знаний и способов деятельности: входной, текущий, итоговый.

Формы контроля:

Массовый
Индивидуальный: фронтальный, индивидуальный опрос, контрольные работы, сочинения, диктанты.

Способы контроля: письменный, устный, практический.

Средства контроля: математический диктант, дидактические материалы, карточки, тесты, перфокарты, таблицы, опорные схемы, задания с печатной основой, компьютер, модели и приборы и т.д.

К современным средствам относятся: тест, рейтинговые системы, портфолио (учитывать творческие работы, подходы учащихся).

Фрагмент урока на этапе контроля.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Ребята, давайте теперь посмотрим как вы усвоили материал. Как построить точку С на координатной плоскости, если ее координаты (–4; 3). Игра “Поражение цели”. Класс делится на две команды: “Наводчики” и “Стрелки”. По очереди каждая команда поражает цель своего противника. Чья команда поразит больше цели!

Необходимо отложить на координатных осях абсциссу и ординату точки С. Абсцисса равна -4, т.е. откладываем от начала координат влево 4 единицы. Ордината равна 3, т.е. откладываем от начала координат три единицы вверх. Мысленно проводим прямые, параллельные осям координат, в данных точках; и точка пересечения этих прямых и является искомой точкой С.

Учебные задачи на устроение ошибок:

Постройте точку по ее координатам
Определите координаты заданной на плоскости точки
Задания вида «рисуем по координатам»
Как определить положение точки на прямой, на плоскости
Как располагаются координатные прямые
Где лежит точка, если ее абсцисса равно нулю, ордината равна нулю.

Методы и средства проверки знаний и умений учащихся.

Контроль знаний и его типы:

Внешний (учитель за учеником)
Взаимный (ученик за учеником)
Самоконтроль (ученик за собственной деятельностью)

Виды контроля:

Контроль по конечному результату: пошаговый (контроль за операциями), контроль за установлением определенных параметров деятельности
По месту в процессе обучения: текущий (в ходе учения), итоговый по теме, по курсу обучения. Текущий может быть: предварительный (установить готовность к обучению), ежедневный, периодический.
В новых педагогических технологиях рассматриваются следующие виды контроля усвоения знаний и способов деятельности: входной, текущий, итоговый.

Формы контроля:

Массовый
Индивидуальный: фронтальный, индивидуальный опрос, контрольные работы, сочинения, диктанты.

Способы контроля: письменный, устный, практический.

Билет № 23.Плоскость в пространстве.

Пусть в пространстве E₃ задана некоторая аффинная система координат и плоскость p.

I. Каноническое уравнение плоскости.Выберем произвольную точку M₀(x₀ ; y₀; z₀) Î p и от неё отложим любые неколлинеарные векторы a = и b = с концами M, N Î p. Тогда плоскость p однозначно определяется тремя точками M₀ , M, N , не лежащими на одной прямой. Если а(a; b; g), b(l ; m ; n), то для любой точки X(x ; y ; z) Î E₃имеем X Î p Û Û ( , a , b компланарны) Û ×a×b = 0 Û Û = 0 . Это уравнение относительно переменных x, y, z называется каноническим уравнением плоскости p (по аналогии с каноническим уравнением прямой). Векторы a, b называются направляющими векторами плоскости. Поэтому каноническое уравнение плоскости – это уравнение, составленное по координатам одной точки плоскости (M₀ Î p) и двух её направляющих векторов (а(a; b; g), b(l ; m ; n)).

Ясно, что каноническое уравнение плоскости определено неоднозначно: можно произвольно выбирать точку плоскости и направляющие векторы.

II. Параметрическое уравнение плоскости.Из теории определителей известно, что = 0 Û $ s, t Î R Û $ s, t Î R(здесь важно, что векторы a(a ; b ; g) и b(l ; m ; n) линейно независимы). Таким образом, получаем параметрическое уравнение плоскости:

,s, t Î R

Ясно, что по заданному параметрическому уравнению плоскости без труда выписывается её каноническое уравнение.

III. Общее уравнение плоскости. любая плоскость p может быть задана уравнением A×x+B×y+C×z+D = 0 (A²+B²+С²¹ 0), которое называется общим уравнением плоскости. Обратно, каждое общее уравнение A×x+B×y+C×z+D = 0 (A²+B²+С² ¹ 0) задаёт в пространстве некоторую плоскость, направляющие векторы а(a ; b ; g) и b(l ; m ; n) которой являются произвольными линейно независимыми решениями однородного уравнения A×x+B×y+C×z = 0.

Теорема (об общем уравнении плоскости). (1) Каждая плоскость в пространстве E₃ задаётся некоторым общим уравнением вида A×x+B×y+C×z+D = 0 (A²+B²+C² ¹ 0).

(2) Каждое общее уравнение A×x+B×y+C×z+D = 0 (A²+B²+C² ¹ 0) однозначно определяет некоторую плоскость в пространстве E₃ .

(3) Два общих уравнения плоскости A₁×x+B₁×y+C₁×z+D₁ = 0, A₂×x+B₂×y+C₂×z+D₂ = 0 (A₁²+B₁²+C₁² ¹ 0 ¹ A₂²+B₂²+C₂²), задают одну и ту же плоскость тогда и только тогда, когда коэффициенты этих уравнений пропорциональны: = = = = l Î R \ {0}.

(4) При аффинной замене координат общее уравнение плоскости преобразуется снова в общее уравнение плоскости, т.е. вид общего уравнения плоскости инвариантен при аффинных преобразованиях координат.

IV. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость p, не проходящая через начало аффинной системы координат и не параллельная ни одной из координатных осей Ox, Oy, Oz,задана общим уравнением A×x+B×y+C×z+D = 0 (A²+B²+C² ¹ 0). Это значит, что A×0+B×0+C×0+D ¹ 0, т.е. D ¹ 0, и плоскость p пересекает все три координатные оси. Каковы эти точки пересечения ? Координаты точки пересечения с осью Ox удовлетворяют условию Û Û . В частности, A ¹ 0. Аналогично находятся и точки пересечения плоскости p с осями Oy и Oz : (0 ; – ; 0), (0 ; 0 ; – ) Итак, уравнение плоскости A×x+B×y+C×z+D = 0 удовлетворяет ограничениям A ¹ 0, B ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0. Тогда A×x + B×y + C×z+D = 0 Û A×x + B×y + C×z = – D Û + + = 1 Û Û + + = 1, где a = – , b = – , c = – – найденные выше координаты пересечения плоскости с соответствующими координатными осями.

Полученное уравнение + + = 1 называется уравнением плоскости в отрезках. Здесь величины a, b и с определяют отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях (см. рис).

V. Нормальное уравнение плоскости. Плоскость можно задать уравнением A×x+B×y+C×z+D = 0, где A²+B²+C² = 1, которое называют нормальным уравнением прямой. Смысл этого названия можно понять, если ввести следующее определение: вектор единичной длины, перепендикулярный к заданной плоскости, называется вектором нормали для этой плоскости.

Рассмотрим вектор n(A; B; C) и исследуем его расположение по отношению к плоскости. Если рассмотреть произвольный вектор , где M(x₁ ; y₁ ; z₁), N(x₂ ; y₂ ; z₂) Î p, то (x₂– x₁ ; y₂ – y₁ ; z₂ – z₁) и из условий A×x₁+B×y₁+C×z₁+D = 0, A×x₂+B×y₂+C×z₂+D = 0 следует, что n× = A×(x₂ – x₁)+B×(y₂ – y₁)+C×(z₂ – z₁) = 0. Таким образом, n ^ и ввиду произвольности точек M, N Î p, получаем n ^ p .Если плоскость задана нормальным уравнением, то A²+B²+C² = 1, |n| = 1, так что n(A; B; C) – вектор нормали для плоскости, заданной нормальным уравнением A×x+B×y+C×z+D = 0.

<464748 49 50 51 52 >

Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 300;