Угол между двумя плоскостями

Пусть в пространстве задана декартова система координат. Рассмотрим две плоскости p₁ , p₂ с общими уравнениями А_i×x+B_i×y+C_i×z+D_i = 0 (A_i²+B_i²+C_i² ¹ 0, i = 1, 2). Эти плоскости либо совпадают, либо параллельны, либо пересекаются по прямой. В первых двух случаях величина угла между ними считается равной нулю. В третьем случае при пересечении плоскостей образуются четыре двугранных угла (см. рис.), они попарно вертикальные, и величина меньшего из них называется углом между плоскостями p₁ и p₂ .

Как вычислять угол между плоскостями ? Рассмотрим прямую l пересечения плоскостей p₁ и p₂ с направляющим вектором a(a ; b ; g) и произвольной точкой P(x₀ ; y₀ ; z₀) Î l. Тогда величина угла Ð (p₁ , p₂) = j равна углу Ð (k₁ , k₂) между двумя прямыми k₁ и k₂, перпендикулярными прямой l и проходящими через т. P в плоскостях p_i (i = 1, 2). Как было отмечено при выводе нормального уравнения плоскости, для любой плоскости с общим уравнением A×x+B×y+C×z+D = 0 вектор N(A; B; C) перпендикулярен этой плоскости (т.е. перпендикулярен любому направленному отрезку с концами в этой плоскости).Поэтому для плоскости s,проходящей через прямые k₁ , k₂ в качестве вектора N можно взять направляющий вектор a прямой l, перпендикулярный обеим прямым k₁ и k₂ .Таким образом, s имеет общее уравнениевида a×x+b×y+g×z+D = 0, где D = –a×x₀–b×y₀–g×z₀ получается из условия P(x₀ ; y₀ ; z₀) Î s.

С другой стороны, векторы N_i(A_i ; B_i ; C_i), перпендикулярны плоскостям p_i (i = 1, 2), а значит и прямой l. Поэтому плоскость с направляющими векторами N₁, N₂ и проходящая через т. P совпадает с s. Кроме того, из условий N₁ ^ k₁ , N₂ ^ k₂ следует, что углы Ð (k₁ , k₂) и Ð (N₁ , N₂) с общей вершиной P в плоскости s имеют соответственно перпендикулярные стороны. Значит либо j = Ð (k₁ , k₂) = Ð (N₁ , N₂) и cos j = cos Ð (N₁ , N₂), либо j = Ð (k₁ , k₂) = p – Ð (N₁ , N₂) и cos j = – cos Ð (N₁ , N₂). В любом случае cos j = = |cos Ð (N₁ , N₂)| . Таким образом, получены формулы:

Эти формулы справедливы и в случае коллинеарных векторов N₁ , N₂ , т.е. когда плоскости p₁ и p₂ совпадают или параллельны. Особенно просто вычисляется угол между плоскостями, заданными нормальными уравнениями А_i×x+B_i×y+C_i×z+D_i = 0 (A_i²+B_i²+C_i² = 1, i = 1, 2): Ð (p₁ , p₂) = arc cos |A₁×A₂+B₁×B₂+C₁×C₂ |.

Следствие (о перпендикулярности плоскостей).Плоскости p₁ и p₂ , заданные в некоторой декартовой системе координат общими уравнениями А_i×x+B_i×y+C_i×z+D_i = 0 (A_i²+B_i²+C_i² ¹ 0), i = 1, 2, перпендикулярны (т.е. Ð (p₁ , p₂) = ) тогда и только тогда, когда A₁×A₂+B₁×B₂+C₁×C₂ = 0.

Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.

Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая — ребром.

Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.

У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.

Расстояние от точки до плоскости. Пусть задана точка M(u; v; w)Î E₃и плоскость p с нормальным уравнением A×x+B×y+C×z+D = 0 (A²+B²+C²= 1). Тогда расстояние r(M, p) от точки M до плоскости p – это min{ MX | X Î p}, и из рисунка видно, что этот минимум достигается при X = M_p (в прямоугольном треугольнике катет короче гипотенузы). Таким образом, r(M, p) = MM_p – расстоянию от точки до её проекции на плоскость p. Для нахождения этого расстояния воспользуемся результатами вычислений, проведённых при решении задачи § 8. Имеем

M_p((1–A²)×u–A×B×v–A×C×w–A×D; –A×B×u+(1–B²)×v–B×C×w–B×D; –A×C×u–B×C×v+(1–C²)×w–C×D).

Поэтому r(M, p) = MM_p = = = = |A×u+B×v+C×w+D| .

В общем случае, когда плоскость задана не нормальным, а общим уравнением, для перехода к нормальному уравнению нужно поделить все коэффициенты общего уравнения на . Таким образом, получится формула r(M, p) = .