Задачи (по уровням).

1. Основание треугольника 12 см, его высота – 7 см. Найти площадь треугольника.

2. Катеты прямоугольного треугольника 5 см и6 см. Найти его площадь.

3. Основание треугольника 9 см, а угол между ним и боковой стороной, равной 8 см, равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.

II.

1. В прямоугольном треугольнике KMN медиана NP = 10см, а его площадь равна 280 кв. см. Найдите расстояние от середины катета NK до гипотенузы КМ. (При решении этой задачи необходимо помнить, что понятие окружности, описанной около треугольника, учащимся еще неизвестно. В этом случае можно воспользоваться свойствами средней линии треугольника и параллельных прямых).

2. Основание треугольника 12 см. Проекция боковой стороны на основание равна 5 см. Найти площадь треугольника, если известно, что угол между данной боковой стороной и ее проекцией равен 45 градусов.

III.

1. Проекции боковых сторон треугольника равны 6см. Найти площадь треугольника, если один из острых углов этого треугольника равен 45 градусов. (Задачу решить двумя способами).

2. В треугольнике две стороны равны 2см и 4 см. Высота треугольника, проведенная на меньшую из данных сторон, равна 5 см. Что можно сказать о величине высоты, проведенной на большую сторону? Найдите эту высоту.

3. Выразите площадь треугольника через его стороны а, b, с и радиус вписанной окружности r. Сделайте чертеж к задаче.

Билет № 26.Теорема Дезарга.

В проективной геометрии фигуры называются конфигурациями.

Рассмотрим на проективной плоскости P₂ три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Соединим эти точки прямыми. Полученная конфигурация называется трехвершинником (в элементарной геометрии - треугольник). Точки A, B, C – вершины, а прямые, их соединяющие, называются сторонами.

Рассмотрим два трехвершинника, которые могут располагаться в одной плоскости, а могут и не располагаться (обозначим Δ, т.е. ΔABC ΔA’B’C’). Имеет место следующая теорема.

Теорема Дезарга (прямая). Если три прямые, соединяющие соответствующие вершины двух трехвершинников, пересекаются в одной точке, то соответствующие стороны этих трехвершинников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой.

Док-во:Вектор, порождающий некоторую точку проективной плоскости будем обозначать .

Если три точки колинеарны (т.е. лежат на одной прямой) то они порождаются тремя компланарными векторами (т.е. линейнозависимыми).

Рассмотрим три точки A, A’, S. Эти точки колинеарны векторы, их порождающие , , – линейнозависимые (т.е. один из этих векторов выражается через два других). Тоже самое относится к тройкам точек B,B’,S и C’,C,S. Т.о. имеем три векторных равенства:

Сравнивая равенства системы (1) получаем:

(из 1 и 2)

(из 2 и 3)

(из 1 и 3)

Введем следующие обозначения

Из системы (2) имеем , , (4)

Из системы (3) имеем: точка P (AB), точка P’ (A’B’)

точка T (AC), точка T’ (A’C’) (5)

точка R (BC), точка R’ (B’C’)

Учитывая равенство (4) получаем равенство точек P=P’, T=T’, R=R’. (6)

P=M, T=N, R=K (7)

Пользуясь равенством (3) имеем I

Выполним следующие операции I-II+III ( ).

(8)

Перепишем (8) в следующем виде (9)

Равенство (9) показывает, что точки M, N, K – колинеарны, т.е. лежат на одной прямой l.

Теорема (обратная). Если прямые, соединяющие соответственные вершины трехвершинников АВС и А'В'С", сходятся в одной точке, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой (существен лишь тот случай, когда трехвершинники АВС и А'В'С' лежат в одной плоскости).

По другому теорема звучит так:

Если два трехвершинника имеют центр перспективы, то они имеют и ось перспективы, и наоборот.

Применение теоремы Дезарга в школьных задачах

Применение теоремы Дезарга в планиметрических задачах основано на интерпретации трёхвершинника проективной плоскости в виде обычного треугольника на евклидовой плоскости. Теорему Дезарга в этом случае можно сформулировать так:

Теорема Дезарга.Пусть на плоскости заданы два треугольника А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ , соответствующие вершины которых не совпадают и соответствующие стороны не параллельны. Тогда прямые (А₁А₂), (В₁В₂) и (С₁С₂) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда три точки АВ = (А₁В₁) Ç (А₂В₂), ВС = (В₁С₁) Ç (В₂С₂) и АС = (А₁С₁) Ç (А₂С₂) лежат на одной прямой.

Задача 1. На плоскости заданы два отрезка прямых и точка. С помощью одной линейки провести прямую, проходящую через эту точку и недоступную точку пересечения данных прямых.

Решение: I. Анализ.Пусть заданы отрезки прямых l , m и точка Р. Предположим, что уже проведена искомая прямая х = (PR). Её можно постараться интерпретировать как ось перспективы некоторых двух трёхвершинников, у которых Р = (A₁C₁) Ç (A₂C₂) и R = (A₁B₁) Ç (A₂B₂), найти точку Q = (B₁C₁) Ç (B₂C₂) и провести прямую х = (PQ).

II. Построение.1) Произвольно выбираем в доступной части плоскости т. S;

2) проводим три прямые b, c, a, одна из которых (именно b)проходит через т. Р, и все три пересекаются в т. S , получая точки А₁ = a Ç l , В₁ = b Ç l и А₂ = a Ç m, В₂= b Ç m;

3) проводим (А₁Р), получая т. С₁ = (A₁P) Ç c, и (А₂Р), получая т. С₂ = (A₂P) Ç c;

4) (В₁С₁) Ç (В₂С₂) = Q ;

5)x = (PQ). S

A₁

l B₁

С₁

R

x Q P

A₂ B₂

m С₂

III. Доказательство. Теорема Дезарга.

IV. Исследование. Задача всегда имеет единственное решение (даже если исходные прямые были параллельны).

МЕТОДИКА 26. Тема: «Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки»

Решить задачу на построение – это значит найти способ построения фигуры, осуществить это построение и доказать, что построенная фигура – фигура, обладающая требуемыми свойствами.

Для начала мы должны описать, что можно делать с помощью линейки и циркуля.

Линейка – инструмент, позволяющий: провести произвольную прямую; провести прямую (произвольную), проходящую через данную точку; провести прямую, проходящую через две данные точки; построить произвольный луч; построить произвольный луч с заданным началом; построить луч с заданным началом, проходящий через заданную точку; построить отрезок с заданными концами.

Циркуль – инструмент, позволяющий: построить произвольную окружность; построить окружность с заданным радиусом; построить окружность с заданным центром и радиусом; отложить данный отрезок на прямой от данной точки.

Цель: Рассмотреть алгоритм основных задач на построение с помощью циркуля и линейки: деление отрезка пополам, построение перпендикуляра к данной прямой.

Общий прием решения задач на основе деятельностного подхода

1. Изучить содержание задачи.

2. Проверить (вспомнить), есть ли общий прием (алгоритм, правило) решения задач такого типа (если «да» - использовать его, если «нет» - п.3).

3. Провести общий или специальный анализ-поиск решения.

4. На основе анализа или известного приема (алгоритма) составить план решения данной задачи.

5. Решить задачу по составленному плану.

6. Записать решение с использованием соответствующей символики.

7. Если нужно, проверить или исследовать решение.

8. Рассмотреть другие возможные способы решения, выбрать наиболее рациональный.

9. Записать ответ.

Обобщенный прием решения задач на построение

1. Анализ: на этом этапе предполагается, что задача решена, т.е. искомая фигура построена. Находятся связи между элементами фигуры и данными задачи.

2. Построение: на этом этапе дается алгоритм построения искомой фигуры, при этом используются данные анализа.

3. Доказательство: на том этапе доказывается, что построенная фигура действительно является искомой фигурой.

4. Исследование: изучается вопрос о том всегда ли задача имеет решение и сколько имеет решений.

Урок закрепления знаний (структура)

1. Проверка д.з., уточнение направлений актуализации изучения материала.

2. Сообщение темы, целей и задач урока, мотивация учения.

3. Воспроизведение изученного и его применение в стандартных условиях.

4. Применение приобретенных знаний в новых или измененных условиях.

5. Подведение итогов урока.

6. Постановка д.з.

Билет № 27.Метрические свойства поверхности.

Понятие гладкой поверхности.

Рассмотрим вектор-функцию двух скалярных аргументов (1). Областью определения D функции (1), т.е. областью изменения параметров (U,V) является некоторая область плоскости с координатными линиями U и V.

Предположим, что в трехмерном пространстве E₃ задана прямоугольная система координат . Договоримся все векторы откладывать от начала координат в т.О. Если параметр (U,V) изменяется в области D, то т.М описывает в пространстве некоторое множество V.

Опр.Множество V E₃, заданное вектор-функцией (1) называется гладкой поверхностью, если вектор-функция (1) удовлетворяет следующим двум условиям:

1) функция имеет частные производные любого порядка;

2) для любых значений (U,V) первая производная , линейно независимыми, т.е. являются не коллинеарными векторами. (не параллельны)

В координатной записи вектор-функция .

Ведем следующие обозначения : ,

Вектор-функция (1) имеет полный дифференциал .

Приведем пример гладкой поверхности: рассмотрим обычную плоскость π, заданную начальной точкой M₀, двумя направляющими векторами , (непараллельные).

Выберем на π произвольно т.М. . Имеем равенство . Окончательно получаем параметрическое уравнение плоскости π: (2)

Проверим выполнимость двух требований:

1) очевидно выполняется, т.к. функция (2) является простейшей линейной функцией;

2) , .

По условию векторы , - направляющие не коллинеарные не параллельны.

Можно сделать вывод, что обычная плоскость является примером гладкой поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности и ее роль.

Рассмотрим поверхность V:

Имеем , , . Рассмотрим следующие скалярные произведения . Введем следующие обозначения: , , . (3)

Учитывая обозначения (3) получаем (4)

Выражение, стоящее в правой части равенства (4) представляет собой многочлен второй степени относительно переменных (дифференциалов dU, dV). В курсе алгебры такие многочлены называются квадратичными формами.

Квадратичная форма (4) называется первой квадратичной формой поверхности V.

(5)

Величины g₁₁, g₁₂, g₂₂, найденные по правилу (3) являются коэффициентами формы

Очевидно, чтобы найти необходимо и достаточно найти ее коэффициенты по формуле (3).

Рассмотрим значение первой квадратичной формы :

1) длина линии на поверхности. Рассмотрим на поверхности V, заданной уравнением (1), гладкую линию γ, заданную параметрическим уравнением в криволинейных координатах: (6)

Рассмотрим две точки А(t₁), B(t₂). Найдем длину . Её дифференциал . Переходя к интегралу проводя элементарные выкладки, используя уравнения (6) получаем: .

Итак, первая квадратичная форма позволяет вычислить длину дуги гладкой линии, лежащей на поверхности V.

2) угол между линиями на поверхности. На поверхности V, заданной уравнением (1) рассмотрим две гладкие линии γ₁ и γ₂, которые пересекаются в некоторой точке М₀. Как известно углом между линиями называется угол между касательными к этим линиям в точке пересечения. Дифференцирование вдоль линии γ₁будем обозначать d, а вдоль линии γ₂ будем обозначать δ. Т.о. в т.М₀ имеем касательные векторы к линии γ_{1 - ,}к линии γ₂ - . (7)

, т.к. в геометрии угол между линиями считается не тупым, то получаем след. формулу: (8)

Воспользуемся формулами (7), чтобы расписать (8) подробно.

2) площадь поверхности. Выберем на поверхности V точку М(U,V). В области D, которая является областью изменения параметров U,V, точке М соответствует . Параметру U дадим приращение dU, V – приращение dV. В плоской области D получим прямоугольник . На поверхности Vэтому прямоугольнику соответствует криволинейный четырехугольник.

В т.М рассмотрим дифференциалы вектор-функции , т.к. изображение линии на поверхности V яв-ся координатными, то дифференциалы вдоль этих линий имеют такой вид: , .

На указанных векторах как на сторонах построим параллелограмм, который располагается в касательной плоскости к поверхности V в т.M. Площадь поверхности (V) (S₍_v₎) некоторое число. Из курса мат.анализа известно, что для вычисления некоторой величины нужно найти ее дифференциал, а затем перейти к интегралу. Очевидно: дифференциал S(V) есть площадь бесконечно малой области поверхности V. Т.о. (9)

Применяя известные формулы аналитической геометрии . Переходя к двойному интегралу получаем следующую формулу для вычисления поверхности V: (10)

Воспользуемся известной формулой: (11)

Подставляем (10) в (11) получаем:

Из всего сказанного видно, что первая квадратичная форма к поверхности V позволяет вычислять:

1) длину линии на поверхности;

2) угол между линиями на поверхности;

3) площадь поверхности.

Другими словами: форма позволяет проводить измерения на поверхности, т.е. определяет всю метрику поверхности. Поэтому форма иначе называют основной или метрической формой поверхности V.

МЕТОДИКА 27.10кл 10-11кл.–старшая шк, предметы алгебра и начала анализа и геометрия.

Методы обуч: наглядные(..), практические(реш-ие зазл упр-ий), словесные, дидак-ие игры(игровые ситуации); по логике излож–дедук м-ды полн; по степени сам-ти-с/р, исслед-кие м-ды.

Юнош-ий возр-т: интелектуал-е воспр-е, символьная нагляд-сть

Цели:

Обуч:ввести пон …; передать уч-ся опред сист матем-х ЗУН. Помочь уч-ся овлад матем-ми идеями, выработать У реш осн типы матем зад, прим-ть теорию на прак.

Разв:разв мировоз(изуч реал действит-ти сред-ми мат), разв позн-ных проц-в, диалект-го мыш-ия, функц-го стиля мышл, разв общеуч-ые умения (раб с книгой).

Восп: восп интерес к мат (истор-ий мат), кул-ру общения, осущ-ть эстет-ое, экол-ое восп-ние, профес-ную ориентацию уч-ся, воспит отд кач лич-ти(аккур, последов-сть, трудолюб, ответственность, настойч-сть и др.)

Урок ознакомления с новым материалом(цель–ввести понятие и устан св-ва или построить прав);

Эт ур:I Орг. мом (сообщ-е темы, ц ур. и мот-ция учеб. деят уч-ся).

II Подгот к изуч нов. мат (повт-е, актуализация баз-х З).

IIIОзнак с нов. мат.

IVПервич осмыс и закрепл изуч. мат-ла.

V Постан д/з.

VIПодвед ит ур.

Мет-ка изуч пон. 1 Эт – подгот. На нём происх воспр-ие мат-ла, и возник представ-ия, так же н/о показ необх-сть изуч вновь вводим-х пон. Метод-кие приёмы: наблюд, опыт, прак-кая раб, истор-кий обзор, подвод задачи.

2 Эт – основной – определение понятий. Метод-кие приёмы: выявить лог-кую стр-ру опр-ия (термин, род, вид); сформул-ть опр; мотив-ть термин; частные и общие сл понятия; упраж «подведите под понятие»; вывед след-ий; др опр; нахож-е ошибок.

3 Эт – усв пон. Методич. приёмы: установ связь с др. понят; вкл. в клас-цию; провести клас-цию; состав родосл-ую понятия; реш. зад на прим-ие пон; упраж на обобщение и специализацию.

1эт-рассматр-ся зад, привод к опр(по аналогии с кабин)

2эт- термин:угол между прям и пл-тью;род:угол?;видовое отличие:…

3эт-усвоение понятия…классификация:…

В кач-ве средства наглядности м/испол. през MS PowerPoint, различ черт, схемы, макеты и табл.

Билет № 28. Векторное построение геометрии.

<46 47 48 495051 52 >

Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 284;

Поиск по сайту

Узнать еще