Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.
Перед интегрированием рациональной дроби Р(x)/Q(х) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:
1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде
где М (х) – многочлен, a – правильная рациональная дробь;
2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
где , т. е. трехчлен имеет комплексные сопряженные корни;
3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:
4) вычислить неопределенные коэффициенты
для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.
В результате интегрирование рациональной дроби исходный интеграл сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.
Например, найдем интеграл
Так как каждый из двухчленов , , входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I типа:
Освобождаясь от знаменателей, получим
Следовательно,
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений
из которой найдем , , .
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид
Таким образом,
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 322;