Исследование объемного напряженного состояния

Как было показано ранее в п. 4.1, напряжения, действующие на гранях элементарного параллелепипеда, в общем случае напряженного состояния представляются в виде тензора напряжений (рис. 4.4а), как упоминалось:

.

Тензор напряжений симметричен относительно главной диагонали, поскольку по закону парности касательных напряжений имеем:

Рассмотрим определение главных напряжений и положения главных площадок в случае объемного напряженного состояния (все три главных напряжения не равны нулю) (рис. 4.4б).

Предположим, что нам известно положение главной площадки, определяемой нормалью . Сечением, параллельным этой площадке, выделим из исходного параллелепипеда тетраэдр, изображенный на рис. 4.5б, и составим условия равновесия тетраэдра в виде суммы проекций действующих на него сил на оси координат. Введем обозначения для направляющих косинусов нормали :

cos( ) = ; cos( ) = m; cos( ) = n. (4.16)

Примем площадь наклонной грани тетраэдра dA = 1, тогда площади других граней будут: dA_X = , dA_y = m, dA_Z = n.

Единственное напряжение, действующее на главной площадке, обозначим . Сумма проекций сил на ось Х запишется в виде:

Аналогичные равенства будут для осей Y и Z. Все вместе они составят систему однородных уравнений относительно неизвестных косинусов , m и n:

(4.17)

Так как между неизвестными существует зависимость

+m²+n² = 1, (4.18)

то одновременно они все не могут быть равны нулю. В этом случае (доказано в линейной алгебре) определитель однородной системы уравнений равен нулю, т.е.

(4.19)

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение

(4.20)

три корня которого и будут значениями трех главных напряжений в рассматриваемой точке.

Коэффициенты уравнения (4.20) получаются при раскрытии определителя (4.19) и имеют следующий вид:

I₁ =

I₂ = (4.21)

I₃ =

Эти коэффициенты не зависят от выбора осей координат, поскольку при любых исходных площадках уравнение (4.20) должно давать одни и те же корни – главные напряжения в точке. Они называются первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния (тензора напряжений).

Для определения направляющих косинусов соответствующих одной из трех главных площадок, значение главного напряжения на этой площадке надо подставить в (4.17) вместо . Совместное решение уравнений (4.17) и (4.18) и даст искомые значения направляющих косинусов