Статически неопределимые задачи

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия и реакции опор от заданной нагрузки можно определить с помощью лишь одних уравнений равновесия (уравнений статики), называются статически определимыми.

В отличие от них статически неопределимыми называются брусья и системы, внутренние усилия или реакции опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения – уравнения совместности деформаций или перемещений сечений, учитывающих характер деформации системы (геометрическая сторона задачи). Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости. Всегда можно составить столько дополнительных уравнений, сколько не хватает уравнений статики для решения задачи.

Усилия в элементах статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкций). В элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки – в результате, например, изменения температуры, смещения опорных связей, а также при монтаже из-за неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

Составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений (геометрическая сторона задачи) рассмотрим на примере.

Стержень защемлен по концам и нагружен силой F, действующей вдоль оси стержня (рис. 3.9). Собственный вес стержня не учитываем.

Под действием силы F в этом случае в заделках могут возникать только показанные реакции V_A и V_B, которые требуется определить. Направления неизвестных опорных реакций выбираем произвольно.

Для данного случая (когда все силы действуют вдоль одной прямой) можно составить только одно уравнение равновесия:

Для определения двух неизвестных V_A и V_B необходимо составить дополнительно одно уравнение, т.е. рассматриваемая задача является статически неопределимой (степень статической неопределимости бруса равна единице).

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим геометрическую сторону задачи – составим условие совместности деформаций отдельных участков: общая длина бруса не может изменяться, следовательно,

Удлинение можно выразить как сумму удлинений двух участков:

(3.18)

Рассмотрим физическую сторону задачи и абсолютные удлинения участков и , используя закон Гука по формуле (3.13), выразим через продольные силы N₁ и N₂:

(3.19)

В этих формулах и представляют собой выражения продольных сил на участках 1 и 2, записываемые по методу сечений:

(3.20)

Подставим выражения (3.19) с учетом (3.20) в формулу (3.18) и получим:

(3.21)

Отсюда найдем =

При условии получим:

(3.22)

Если то (3.23)

Если то (3.24)

Реакцию найдем из уравнения статики:

(3.25)

При равномерном изменении температуры окружающей среды вокруг бруса на Dt° формулы (3.19) запишутся в виде:

(3.26)

где a₁ и a₂ – коэффициенты линейного расширения материалов бруса.

Подставляя формулы (3.26) в формулу (3.18) и используя (3.20), найдем реакцию V_B при совместном воздействии на брус силы F и изменением температуры окружающей среды на Dt градусов.

ПРИМЕР 3.4

Требуется определить реакции опор и построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений сечений для составного бруса ступенчатого сечения, изображенного на рис. 3.10а, при следующих исходных данных:

РЕШЕНИЕ

1. Найдем полное удлинение бруса при увеличении температуры на Dt = 30 °C и воздействии силы F при отсутствии правой опоры

Имеющийся зазор D между правой опорой и сечением В бруса меньше полученной величины полного удлинения т.е.

Таким образом, после закрытия зазора задача становится один раз статически неопределимой.

1. Статическая сторона задачи.

= 0; V_A–V_B+F = 0;

отсюда (3.27)

2. Геометрическая сторона задачи.

Полное удлинение всего бруса ограничено опорами и может равняться только монтажному зазору D. Тогда перемещение сечения В будет равно:

(3.28)

3. Физическая сторона задачи.

Предварительно вычислим жесткости поперечных сечений на участках:

Удлинения участков от продольных сил и температуры запишутся:

(3.29)

Используя метод сечений, записываем:

(3.30)

После подстановки выражения (3.29) с учетом (3.30) в формулу (3.28), получим:

Отсюда

Из уравнения (3.27) найдем реакцию V_A:

По формулам (3.30) определим значения продольных сил на участках:

По найденным значениям построим эпюру N (рис. 3.10в).

Определим нормальные напряжения на участках:

Определим перемещения сечений по формуле (3.16):

т.е. геометрическое условие (3.28) выполняется.

ПРИМЕР 3.5

ДАНО: Абсолютно жесткий брус АВС, один конец которого опирается на шарнирно-неподвижную опору А, закреплен еще двумя стержнями 1 и 2 в точках В и С (рис. 3.11).

ТРЕБУЕТСЯ: 1. Определить усилия в стержнях 1 и 2 при заданной нагрузке и из условия прочности стержней определить площади их поперечных сечений А₁ и А₂ при А₁ = 1,5А₂ и R = 200 МПа.

2. При полученных значениях площадей сечений определить величину допускаемой интенсивности равномерно распределенной нагрузки [q]_пр по методу предельного равновесия и сравнить ее с заданной величиной q.

Предел текучести s_S = 240 МПа, коэффициент запаса прочности n = 1,2.

РЕШЕНИЕ

Предварительно определим расстояние между точками А и С: = м.

Покажем на рисунке реакции опор: V_A, H_А, V_D и H_E. Продольные усилия в стержнях 1 и 2 – N₁ , N₂ – равны соответствующим реакциям опор, т.е. N₁ = V_D и N₂ = H_E. В данной системе имеется 4 неизвестных опорных реакций, а уравнений равновесия может быть составлено только 3. Это значит, что задача является один раз статически неопределимой.

1. Статическая сторона задачи.

Составим уравнение равновесия. Так как согласно условию задачи необходимо определить усилия в стержнях 1 и 2, напишем уравнение равновесия, в которое войдут только усилия N₁ и N₂. Таким условием равновесия является

N₁ 6 + N₂ 4 – q 6 3 = 0. (3.31)

2. Геометрическая сторона задачи.

Для получения недостающего уравнения дадим возможное перемещение системе и составим условие совместности деформации стержней 1 и 2. Брус АВС абсолютно жесткий (т.е. не деформируемый), поэтому при повороте бруса на некоторый угол точки прикрепления стержней В и С переместятся по дуге окружности на величину u_B и u_C пропорционально радиусам поворота АВ и АС. В силу малости перемещений длины этих дуг можно считать равными перпендикулярам к радиусам АВ и АС. Из подобия треугольников АВВ₁ и АСС₁ (рис. 3.11а) следует:

tg = или (3.32)

Равенство (3.32) представляет собой условие совместности перемещений точек крепления стержней 1 и 2 к абсолютно жесткому стержню.

Для получения абсолютных деформаций стержней и из новых положений точек В₁ и С₁ опустим перпендикуляры на заданные первоначально направления стержней 1 и 2.

Из рис. 3.11а видно, что точки В₁ и В₂ совпали и а из рис. 3.11б следует, что удлинением стержня 2 является отрезок СС₂, который представляет собой катет прямоугольного треугольника СС₂С₁. Из этого треугольника получаем:

. (3.33)

Равенства (3.33) подставим в уравнение (3.32) и получим уравнение совместности деформации стержней 1 и 2:

(3.34)

3. Физическая сторона задачи.

Удлинение стержней выражаем в соответствии с законом Гука через усилия в стержнях N₁ и N₂:

(3.35)

Подставим выражения (3.35) в формулу (3.34) и получим:

4. Определение продольных усилий в стержнях 1 и 2.

Подставляя в эту формулу числовые значения и учитывая, что А₁ = 1,5А₂, sin = получим

Отсюда N₁ = 1,799N₂ (3.36)

или N₂ = 0,556N₁. (3.37)

Решая совместно уравнения (3.31) и (3.36), получаем:

1,799N₂ × 6+N₂ × 4 – q × 6 × 3 = 0 при q = 20 кН/м,

N₂ = 24,33 кН; N₁ = 1,799 × 24,33 = 43,79 кН.

5. Подбор сечений стержней 1 и 2:

Выразим напряжения в стержнях:

=

Так как из условия прочности в наиболее напряженном стержне определим требуемую площадь поперечного сечения:

отсюда

А₂ = 0,146 10^–3 м² = 1,46 см².

Тогда А₁ = 1,5А₂ = 1,5 1,46 см² = 2,19 см².

Определим напряжения в стержнях и проведем проверку прочности:

6. Определение допускаемой величины интенсивности нагрузки [q]_пр по методу предельного равновесия.

Выше сечения стержней были подобраны из условия прочности по методу расчетных сопротивлений, т.е. когда

В расчете по методу предельного равновесия условие прочности ограничивает не напряжения, а допускаемую нагрузку, которая определяется как отношение предельной нагрузки к коэффициенту запаса:

В статически неопределимых системах при одинаковом коэффициенте запаса по напряжениям и нагрузкам, т.е. n = , этот метод может дать некоторую экономию материала стержней за счет более полного нагружения недонапряженных стержней.

При постепенном увеличении нагрузки напряжения в обоих стержнях будут возрастать до величины, равной пределу текучести сначала в более напряженном стержне 1, затем и в стержне 2, т.е. в предельном состоянии

Величина внешней нагрузки в этом случае и является предельной или разрушающей.

Тогда усилия в стержнях 1 и 2 будут равны:

N

N

Подставим эти усилия в уравнение равновесия (3.31) и найдем величину интенсивности разрушающей (предельной) нагрузки:

6N +4N – q_пред × 6 × 3 = 0;

q_пред =

Коэффициент запаса n = 1,2.

Следовательно, величина допускаемой интенсивности распределенной нагрузки будет равна:

[q]_пред =

Сравним эту величину [q]_пред с величиной заданной нагрузки q = 20 :

Значит, при расчете по методу предельного равновесия нагрузка может быть увеличена на 5,5 %.

3.7. Контрольные вопросы по теме

1. В чем заключается суть метода сечений при определении внутренних усилий, в частности, при определении продольных сил?

2. Приведите рабочее правило для определения продольных сил в поперечных сечениях стержней и правило знаков для них.

3. Как определяется нормальное напряжение в поперечном сечении бруса при растяжении–сжатии?

4. Что такое расчетное сопротивление материала?

5. Как записываются условия прочности при растяжении-сжатии для пластичных и хрупких материалов?

6. Как производится подбор требуемой площади поперечного сечения бруса из условия прочности?

7. Как формулируется закон Гука? Как он записывается для случая растяжения–сжатия?

8. Как определяется абсолютная деформация бруса при осевом растяжении–сжатии при наличии распределенной нагрузки на грузовом участке и при ее отсутствии?

9. Какие системы называются статически неопределимыми? Каков порядок их решения?

10. Назовите характеристики прочности материала. Как они определяются с помощью диаграммы растяжения для низкоуглеродистой стали?

11. Назовите характеристики пластичности материала. Как они определяются?