Главные площадки и главные напряжения. Классификация напряженных состояний

Значения нормальных и касательных напряжений на произвольных площадках, проходящих через какую-либо точку тела, зависят от положения этих площадок.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих на различных площадках, проходящих через заданную точку, называется напряженным состоянием в этой точке.

В курсе теории упругости доказано, что в окрестности любой точки можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения будут отсутствовать. Такие площадки называются главными. Нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения, называются главными напряжениями и обозначаются: σ₁, σ₂, σ₃. Здесь σ₁ – наибольшее (в алгебраическом смысле) главное напряжение, σ₃ – наименьшее, а σ₂ – промежуточное, т.е. σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃.

На рис. 4.1а показаны три взаимно перпендикулярные произвольные площадки, на гранях которых действуют нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения показаны растягивающими, т.е. положительными. Касательные напряжения (на каждой грани по два) показаны с двумя индексами: первый индекс указывает параллельно какой оси координат действует, а второй – на грани с какой нормалью. В общем случае напряженное состояние в точке описывается тензором напряжений

.

На рис. 4.1б показан параллелепипед с бесконечно малыми размерами сторон, грани которого являются главными площадками, так как на них отсутствуют касательные напряжения. В зависимости от наличия отличных от нуля главных напряжений на главных площадках различают три вида напряженных состояний:

1. Если все три главных напряжения отличны от нуля, то имеет место в данной точке объемное или пространственное напряженное состояние (ОНС) (рис. 4.1б).

2. В том случае, когда два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю – имеет место плоское напряженное состояние (ПНС) (рис. 4.2а).

3. Если только одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю, имеет место одноосное (линейное) напряженное состояние (ЛНС) (рис. 4.2б).

Наиболее простым и наглядным случаем одноосного (линейного) напряженного состояния является центральное растяжение–сжатие стержней. Определение напряжений на наклонных площадках при ЛНС было исследовано в п. 3.3 предыдущей главы.