Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины


Пусть дискретная случайная величина имеет распределение

 

Х х1 х2 xn
Р p1 p2 pn

Математическим ожиданием называют число равное сумме произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности. Обозначают

Если случайная величина принимает счетное множество значений, то математическое ожидание есть сумма ряда

.

Прежде чем рассматривать свойства математического ожидания, определим операции над случайными величинами.

1. Произведением случайной величины Х на число k назовем новую случайную величину kX, значения которой равны значениям исходной случайной величины Х умноженные на число k и принимаются с теми же вероятностями.

2. Квадратом случайной величины Х называют новую случайную величину Х2, значения которой равны квадратам значений случайной величины Х и принимаются с теми же вероятностями.

При этом надо иметь в виду, что в результате возведения в квадрат некоторые значения становятся одинаковыми. В этом случае новое значение записывают один раз, а соответствующие вероятности складывают.

 

 

X2
P 0,25 0,5 0,25

 

X -2
P 0,15 0,25 0,35 0,25

 

3. Суммой двух случайных величин Х и Y называют новую случайную величину, значения которой равны всевозможным значениям величин Х и Y, а соответствующие вероятности перемножаются, если X и Y независимы. В случае зависимости случайных величин вероятность значения X умножается на условную вероятность значения Y. При этом так же новые значения могут повторяться. Их записывают один раз, а вероятности повторяющихся значений складывают.

Рассмотрим задачу: Два баскетболиста по очереди забрасывают мяч в корзину. Всего сделано пять бросков. Вероятность попадания при одном броске первым баскетболистом равна 0,8, вторым – 0,9.

Составить таблицу распределения числа попаданий в корзину обоими баскетболистами.

Решение: Обозначим число попаданий первым баскетболистом через Х, вторым – Y. Первый игрок, согласно условию задачи, сделает три броска, второй – 2. Поскольку результаты бросков не зависят друг от друга, то мы находимся в условиях схемы Бернулли, и вероятности значений случайных величин Х и Y будем подсчитывать по формуле Бернулли

После не сложных вычислений, получим следующие распределения случайных величин Х и Y:

 

Х
P 0,01 0,18 0,81

 

Х
P 0,008 0,096 0,384 0,512

Для построения суммы, составим таблицу:

 

 

X Y X+Y Pij   X Y X+Y Pij
0,00008   0,00384
0,00144   0,06912
0,00648   0,31104
0,00096   0,00512
0,01728   0,09216
0,07776   0,41472

 

Составим теперь новую таблицу распределения суммы, записывая каждое значение по одному разу. Вероятности повторяющихся значений будем складывать:

 

X+Y
P 0,00008 0,0024 0,0276 0,152 0,4032 0,41472

 

4. Произведением двух независимых случайных величин называется новая случайная величина, значения которой равны всевозможным значениям случайных величин X и Y, при этом соответствующие вероятности перемножаются.

 



Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 348;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.01 сек.