Дифференциальные уравнения САУ
Динамическое состояние системы можно представить в виде совокупности дифференциальных уравнений, описывающих все физические процессы - механические, электрические, электромагнитные и др., происходящие в элементах (звеньях) системы.
Для исследования же системы удобнее иметь одно общее дифференциальное уравнение, составленное на основе уравнений каждого из входящих в нее отдельных звеньев путем исключения промежуточных переменных, при этом за входную и выходную переменные каждого из них необходимо принимать те, которые указаны в функциональной схеме исследуемой системы.
При составлении и решении уравнений динамики системы следует учитывать, что коэффициенты дифференциального уравнения САУ зависят от параметров звеньев (например, момента инерции, массы, емкости, индуктивности и т.п.).
Рассмотрим механическую систему при неравномерном движении.
Если скорость какого-либо тела постоянна, то расстояние будет равно
S(t) = S0 + Vt или Y(t) = Y0 + t, (1.2.1)
где Y(t) = S - расстояние, пройденное телом за время t;
=V - скорость тела при движении;
Y0 = S0 - расстояние пройденное телом до начала отсчета t=0.
Если же еще и скорость непостоянна, то в общем случае расстояние будет равно
или , (1.2.2)
где - ускорение при движении.
При нескольких переменных в общем виде уравнение динамики звена или САУ имеет вид
, (1.2.3)
где , ... - управляемая переменная и ее производные;
, ...- входные переменные и их производные;
, ...- возмущающее воздействие и его производная.
С учетом принципа суперпозиции для линейных систем при независимых друг от друга X1, X2 и F можно записать
. (1.2.4)
Пример. Составим дифференциальное уравнение протекания тока через обмотку возбуждения двигателя (рис.1.2.2).
,
где L - индуктивность; i - ток; U - напряжение; R - сопротивление обмоток.
Линеаризация САУ
В общем случае САУ нелинейны, т.е. хотя бы в одном звене имеется нелинейная характеристика. Решение дифференциальных уравнений нелинейного вида типа (1.2.3) представляет большую трудность. Поэтому необходимо произвести линеаризацию нелинейных характеристик реальных звеньев.
Линеаризацией называют замену нелинейного уравнения Y=f(t) приближенно линейным Y»KX.
Основой линеаризации является выдвинутое П.А. Вышнеградским предложение, что в течение всего процесса управления имеют место достаточно малые отклонения всех переменных от их установившегося значения. Это дает возможность линеаризовать нелинейную функцию в окрестности точки установившегося равновесия. Такую линеаризацию осуществляют методом А.М. Ляпунова. Линеаризацию по Ляпунову проводят в окрестности установившегося состояния с последующим отбрасыванием нелинейного остатка разложения Х.
Разложим непрерывную нелинейную функцию f(X) в ряд Тейлора
(1.2.5)
Если ограничиться первым приближением линеаризации, то получим линейное уравнение относительно DX
, (1.2.6)
где - угол наклона зависимости в точке X0 (рис.1.2.1).
Рис.1.2.1. Линеаризация дифференциальных уравнений САУ
Часто уравнения нужно записывать в приращениях:
f(X)=f0(X0)+f(DX) или
. (1.2.7)
Для того, чтобы привести уравнения к единому безразмерному виду, проводят нормирование и получают уравнения в относительных единицах. Нормирование осуществляют путем деления на базовое значение или номинальную величину . В этом случае эти величины можно сравнивать качественно и количественно.
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 290;