Частотные характеристики

Если на вход звена или линейной системы, состоящей из ряда последовательно соединенных звеньев, в разомкнутом состоянии подать гармоническое воздействие постоянной амплитуды X_m и частоты w, то после затухания переходного процесса на выходе установится гармоническое изменение выходной величины с той же частотой, которую имеет входная величина, но с амплитудой Y_m и с отставанием по фазе на угол j (рис.1.3.3).

Рис.1.3.3. Гармоническое воздействие на САУ

Частотные характеристики звена (системы) показывают, как изменяются амплитуда и фаза выходного сигнала при прохождении через САУ или звено.

К комплексной частотной характеристике, дающей представление о динамических свойствах звена, можно перейти от передаточной функции путем замены оператора Р в операторных полиномах ее числителя С(Р) и знаменателя В(Р) на мнимое число jw (оператор Фурье):

, (1.3.16)

где e^jwt = Coswt+jSinwt - единичный вектор гармонического колебания (рис.1.3.4).

Рис.1.3.4. Гармонические колебания

Частотная характеристика звена или системы является комплексным выражением, содержащим модуль и аргумент:

W(jw)=A(w)e^jj(w), A(w)= ½W(jw)½ и j(w)=argW(jw). (1.3.17)

При изменении частоты от 0 до ¥ модуль комплексного выражения изменяется и определяет амплитудно-частотную характеристику A(w), а зависимость аргумента от частоты определяет фазочастотную характеристику j(w).

Для записи частотной функции используют обычно три формы: алгебраическую (1.3.16), показательную (1.3.17) и тригонометрическую.

Так как в комплексном выражении можно выделить вещественную и мнимую составляющие

W(jw) = U(w)+jV(w), (1.3.18)

где U(w) - вещественная (активная) составляющая;
V(w) - мнимая (реактивная) составляющая,

то представляет интерес вещественная частотная характеристика (ВЧХ)

U(w) = A(w)Cosj(w) (1.3.19)

и мнимая частотная характеристика (МЧХ)

V(w) = A(w)Sinj(w), (1.3.20)

где ;
.

При совмещении на одном графике вещественной частотной характеристики и мнимой частотной получаем амплитудно-фазовую характеристику АФХ (рис.1.3.5).

Рис.1.3.5. Частотные характеристики:
а - амплитудно-фазовая частотная (АФЧХ);
б - амплитудно-частотная (АЧХ);
в - фазо-частотная (ФЧХ)