Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин

Пример 1. Заданы законы распределения двух независимых величин X и Y:

Найти законы распределения случайных величин Z = X – Y и W = XY.

Решение. Найдем возможные значения случайной величины Z. Для этого определим z_ij = x_i – y_j и расположим найденные значения в порядке возрастания:

z₁₁ = x₁ – y₁ = 0, z₁₂= 1 – 2= –1, z₂₁= 2 – 1= 1, z₂₂= 2 – 2= 0, z₃₁= 3 – 1= 2,

z₃₂= 3 – 2= 1, z₁₂= 1 – 2= –1, z₁= –1, z₂= 0, z₃= 1, z₄= 2.

Определим соответствующие им вероятности:

p₁ = P(Z = –1) = P(X = 1, Y = 2) = P((X = 1) × (Y = 2)) =

= P(X = 1) × (Y = 2) = 0,3 × 0,4 = 0,12;

p₂ = P(Z = 0) = P((X = 1, Y = 1) + (X = 2, Y = 2)) =

= P(X = 1) × P(Y = 1) + P(X = 2) × P(Y = 2) = 0,3 × 0,6 + 0,5× 0,4 = 0,38;

p₃ = P(Z = 1) = P((X = 2, Y = 1) + (X = 3, Y = 2)) =

= P(X = 2) × P(Y = 1) + P(X = 3) × P(Y = 2) = 0,5 × 0,6 + 0,2× 0,4 = 0,38;

p₄ = P(Z = 2) = P(X = 3, Y = 1) = P(X = 3) × P(Y = 1) = 0,2 × 0,6 = 0,12.

При вычислении вероятностей p_i используются правила вычисления вероятностей произведения независимых событий и суммы несовместных событий.

Ряд распределения СВ Z имеет вид:

Контроль:

Аналогично находим ряд распределения случайной величины
W = X × Y.

Найдем w_ij = x_iy_j: w₁₁ = 1 × 1 = 1, w₁₂ = 1 × 2 = 2, w₂₁ = 2 × 1 = 2,

w₂₂ = 2 × 2 = 4, w₃₁ = 3 × 1 = 3, w₃₂ = 3 × 2 = 6.

Тогда w₁ = w₁₁ = 1, w₂ = w₂₁ = w₁₂ = 2, w₃ = w₃₁ = 3, w₄ = w₂₂ = 4,
w₅ = w₃₂ = 6.

p₁ = P(W = 1) = P(X = 1, Y = 1) = P(X = 1) × (Y = 1) = 0,3 × 0,6 = 0,18;

p₂ = P(W = 2) = P((X = 1, Y = 2) + (X = 2, Y = 1)) =

= P(X = 1) × P(Y = 2) + P(X = 2) × P(Y = 1) = 0,3 × 0,4 + 0,5× 0,6 = 0,42;

p₃ = P(W = 3) = P(X = 3, Y = 1) = P(X = 3) × P(Y = 1) = 0,2× 0,6 = 0,12;

p₄ = P(W = 4) = P(X = 2, Y = 2) = P(X = 2) × P(Y = 2) = 0,5 × 0,4 = 0,20;

p₅ = P(W = 6) = P(X = 3, Y = 2) = P(X = 3) × P(Y = 2) = 0,2 × 0,4 = 0,08.

Ряд распределения СВ W имеет вид:

Контроль:

Пример 2. Задана таблица распределения двумерной случайной величины (X, Y):

Определить: а) безусловные законы распределения СВ X и Y;

б) функцию распределения F(x; y) двумерной СВ (X; Y);

в) P(X ≤ Y);

г) условный закон распределения СВ Y при X = x₂ и M ;

д) зависимость или независимость компонент X и Y;

е) центр рассеивания: точку (M(X); M(Y));

ж) закон распределения случайной величины Z = XY;

з) коэффициент корреляции r_xy.

Решение. а) Суммируя вероятности в первой и второй строках таблицы, найдем вероятности возможных значений СВ X: x₁ = 1 и x₂ = 2.

P(X = x₁) = P(X = 1) = 0,15 + 0,2 + 0,25 = 0,6;

P(X = x₂) = P(X = 2) = 0,2 + 0,1 + 0,1 = 0,4.

Суммируя вероятности в каждом из столбцов таблицы, определим вероятности соответствующих значений СВ Y: y₁ = –1, y₂ = 1, y₃ = 2:

P(Y = y₁) = P(Y = –1) = 0,15 + 0,2 = 0,35;

P(Y = y₂) = P(Y = 1) = 0,2 + 0,1 = 0,3;

P(Y = y₃) = P(Y = 2) = 0,25 + 0,1 = 0,35.

Законы распределения СВ X и Y имеют вид:

б) Функцию распределения заданной двумерной СВ (X; Y) найдем, используя формулу (1.60)

Если x ≤ 1 или y ≤ –1, то F(x; y) = 0 (события (X < x) или (Y < y) при этом являются невозможными).

Если 1 < x ≤ 2 и –1 < y ≤ 1, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) = 0,15.

Если 1 < x ≤ 2 и 1 < y ≤ 2, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) + P(X = 1; Y = 1) =
= 0,15 + 0,2 = 0,35.

Если 1 < x ≤ 2 и y > 2, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) + P(X = 1; Y = 1) +
+ P(X = 1; Y = 2) = 0,6.

Если x > 2 и –1 < y ≤ 1, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) + P(X = 2; Y = –1) =
= 0,15 + 0,2 = 0,35.

Если x > 2 и 1 < y ≤ 2, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) + P(X = 2; Y = –1) +
+ P(X = 1; Y = 1) + P(X = 2; Y = 1) = 0,15 + 0,2 + 0,2 + 0,1 = 0,65.

Если x > 2 и y > 2, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) + P(X = 2; Y = –1) +
+ P(X = 1; Y = 1) + P(X = 2; Y = 1) + P(X = 1; Y = 2) + P(X = 2; Y = 2) = 0,15 + + 0,2 + 0,2 + 0,1 + 0,25 + 0,1= 1.

Таким образом, функцию распределения данной системы дискретных случайных величин можно задать таблицей

в) P(X ≤ Y)= P(X = 1; Y = 1) + P(X = 1; Y = 2) + P(X = 2; Y = 2) = 0,2 +
+ 0,25 + 0,1 = 0,55.

г) Условные вероятности значений СВ Y при X = x₂ найдем по формуле (1.63)

P(X = x₂) = (X = 2) = 0,4;

Таким образом условный закон распределения СВ Y при X = 2 имеет вид

yj	–1
	0,5	0,25	0,25

д) Так как безусловный и условный законы распределения СВ Y не совпадают, то случайные величины X и Y зависимы. (В этом можно было убедиться и другим способом: P(X = 2; Y = 1) =0,1; P(X = 2) × P(Y = 1) =
= 0,4 × 0,3 = 0,12; 0,1 ¹ 0,12).

е) Используя найденные законы распределения составляющих X и Y вычислим M(X) и M(Y):

M(X) = 1 × 0,6 + 2 × 0,4 = 1,4; M(Y) = 1 × 0,35 + 1 × 0,3 + 2 × 0,35 = 0,65.

Точка (1,4; 0,65) – центр рассеивания двумерной случайной величины (X; Y).

ж) Так как случайные величины X и Y зависимы, то удобнее находить закон распределения случайной величины Z = XY по закону распределения двумерной СВ (X; Y).

Возможные значения случайной величины Z:

z₁ = –2, z₂ = –1, z₃ = 1, z₄ = 2, z₅ = 4.

Определим соответствующие им вероятности:

p₁ = P(Z = –2) = P(X = 2; Y = –1) = 0,2;

p₂ = P(Z = –1) = P(X = 1; Y = –1) = 0,15;

p₃ = P(Z = 1) = P(X = 1; Y = 1) = 0,2;

p₄ = P(Z = 2) = P(X = 2; Y = 1) + P(X = 1; Y = 2)= 0,1 + 0,25 = 0,35;

p₅ = P(Z = 4) = P(X = 2; Y = 2) = 0,1.

Ряд распределения СВ Z имеет вид:

з) Коэффициент корреляции r_XY найдем по формуле (1.74)

используя для определения корреляционного момента K_XY соотношение (1.72)

K_XY = M(XY) – M(X) × M(Y).

M(XY) = M(Z) = –2 × 0,2 – 1 × 0,15 + 1 × 0,2 + 2 × 0,35 + 4 × 0,1 = –0,4 – 0,15 +
+ 0,2 + 0,7 + 0,4 = 0,75.

(M(XY) можно также находить по формуле (1.73) При этом M(XY) = 1(–1) × 0,15 + 2(–1) × 0,2 + 1 × 1 × 0,2 + 2 × 1 × 0,1 +
+ 1 × 2 × 0,25 + 2 × 2 × 0,1 = –0,15 – 0,4 + 0,2 + 0,2 + 0,5 + 0,4 = 0,75.)

Так как M(X) =1,4 и M(Y) = 0,65, то K_XY = 0,75 – 1,4 × 0,65 = 0,75 – 0,91 =
= – 0,16.

Вычисляем средние квадратические отклонения составляющих по формулам

Так как законы распределения случайных величин X² и Y² имеют вид:

			и				,
pi	0,6	0,4	pj	0,65	0,35

то M(X ²) = 1 × 0,6 + 4 × 0,4 = 0,6 + 1,6 = 2,2;

D(X) = 2,2 – (1,4)² = 2,2 – 1,96 = 0,24;

M(Y ²) = 1 × 0,65 + 4 × 0,35 = 0,65 + 1,4 = 2,05;

D(Y) = 2,05 – (0,65)² = 2,05 – 0,4225 = 1,5275;