Плоскопараллельное движение тела

Движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, назы­вается плоскопараллельным.

Изучая плоскопараллельное движение тела М, достаточно рас­сматривать движение его плоского сечения q плоскости ХОУ.

Выберем в сечении q произвольную точку A, которую назовем полюсом. Свяжем с полюсом А некоторую прямую KL , а в самом се­чении вдоль прямой KL проведем отрезок AB, перемещая плоское сечение из положения q в положение q₁. Можно сначала передви­нуть его вместе с полюсом А поступательно, а затем повернуть на угол .

Плоскопараллельное движение тела – движение сложное и состоит из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг полюса.

Закон плоскопараллельного движения можно задать тремя уравне­ниями:

.

Дифференцируя заданные уравнения плоскопараллельного движе­ния, можно в каждый момент времени определить скорость и ускорение полюса, а также угловую скорость и угловое ускорение тела.

Пусть, например, движение катящегося колеса диаметром d за­дано уравнениями , где и – м, – рад, t – с. Продифференцировав эти уравнения, нахо­дим, что скорость полюса O , угловая ско­рость колеса . Ускорение полюса и угловое ускорение колеса в данном случае равны нулю. Зная скорость полю­са и угловую скорость тела, можно затем определить скорость лю­бой его точки.

8.3. Определение скорости любой точки тела
при плоскопараллельном движении

Пусть дано плоское сечение q , угловая скорость и скорость полюса которого в некоторый момент времени соответственно и . Требуется определить скорость какой-либо точки А.

Расчленим плоскопараллельное движение на составные части – поступательную и вращательную. При поступательном движении вмес­те с полюсом (переносное движение) все точки сечения, и точка А в том числе, имеют переносную скорость , равную скорости по­люса. Одновременно с поступательным сечение q, совершает враща­тельное движение с угловой скоростью (относительное движение).

,

– относительная скорость точки A ( ).

Следовательно, в каждый данный момент времени

,

т.е. абсолютная скорость точки тела при плоскопараллельном дви­жении равна геометрической сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки вокруг полюса.

Модуль абсолютной скорости может быть определен по формуле

,

а направление – с помощью теоремы синусов. Если же направление абсолютной скорости известно, то ее модуль определяется проще на основании следующей теоремы: проекции скоростей двух точек твер­дого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Допустим, что известны скорости и точек A и В какого-либо тела. Приняв за полюс точку A, получим

.

Относительная скорость перпендикулярна АВ. Следовательно, или . Теорема доказана.