Скорости и ускорения различных точек вращающегося тела

Определим скорость и ускорение любой точки в любой момент времени. Для этой цели установим зависимость между угловыми величи­нами , и , характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами и , характеризующими движение точек тела.

Допустим, что тело, показанное на рисунке, вращаемся согласно уравнению . Требуется определить скорость и ускорение точки А этого тела, расположенной на расстоянии от оси вращения O. Пусть тело за некоторое время tповернулось на угол , а точка А, двигаясь по окружности из некоторого начального положения , переместилась на расстояние . Так как угол выражается в радианах, то

(7.9)

т.е. расстояние, пройденное точкой вращающегося тела, пропорционально его углу поворота. Расстояние S и угол поворота – функции времени, a – величина, постоянная для данной точки. Продифференцируем по времени обе части равенства (7.9) и получим

но – скорость точки, a – угловая скорость тела, поэтому

(7.10)

т.е. скорость точки вращающегося тела пропорциональна его угловой скорости.

Изформулы (7.10) видно, что для точек, расположенных на оси вращения, и скорости этих точек также равны нулю. По мере изменения , т.е. у точек, находящихся дальше от оси вращения, скорости тем больше, чем больше значение . Пропорциональная зависимость скоростей различных точек вращающегося тела от их расстояний относительно оси вращения показана на рисунке.

Продифференцировав обе части равенства (7.10), имеем

,

но – касательное ускорение точки, a – угловое ускорение тела, значит

(7.11)

т.е. касательное ускорение точки вращающегося тела пропорцио­нально его угловому ускорению.

Подставив в формулу , значение скорости из формулы (7.10), получим

(7.12)

т.е. нормальное ускорение точки вращающегося тела пропорционально второй степени его угловой скорости.

Из формулы после подстановки вместо и их значений из формул (7.11) и (7.12) получаем

(7.13)

Направление вектора ускорения, т.е. угол , определяется по одной из формул , причем последнюю из них можно представить теперь в таком виде:

(7.14)

Из формул (7.13) и (7.14) следует, что для точек тела при его вращательном движении по заданному закону можно сначала найти ускорение , а затем разложить его на касательное ускорение и нормальное ускорение , модуль которых

и