Понятия: последовательность, предел последовательности.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ

Предел и непрерывность функций

Понятия: последовательность, предел последовательности.

Упорядоченное множество вещественных чисел, любое из которых имеет свой номер, называется последовательностью.

Обозначение: {X_n}=X₀, X₁, X₂, …X_n, …

Задача 1: Популяция микроорганизмов первоначально имела массу 100 мг и постоянно увеличивалась с темпом роста 20% в час.

Какова масса популяции через 10 часов роста? Через какое время масса популяции возрастет десятикратно?

4Пусть X_n соответствует массе популяции через n часов роста. По условию X₀ =10 мг, X_n+1=1,2 X_n. Значит X₁=(1,2) X₀; X₂=(1,2)² X₀; X_n=(1,2)ⁿ X₀ =10 (1,2)ⁿ

Через 10 часов X₁₀=10 (1,2)¹⁰»61,92 мг.

Через 13 часов X₁₃=10 (1,2)¹³»107 мг, т. е. происходит увеличение биомассы более чем в 10 раз.

Число a называют пределом последовательности X_n, если для любого >0 найдется такой номер N, начиная с которого выполнятся:

|X_n-a|< при n³N

Записывается:

Задача 2: Численность X_n популяции изменяется в соответствии с законом (n=0, 1, ..)

Найти и в соответствии с определением предела найти номер N, если =0,1

6

Если =0,1 Þ

n=1

n=2

n=3

n=4

Итак, если N=4, то для всех n³N

Последовательность X_n – монотонная, если она либо возрастает , либо убывает .

Последовательность X _n – ограничена, если найдутся числа m, MÎR: m£ X _n £M ("nÎN).

Последовательность называют бесконечно малой, если . Последовательность - бесконечно большая, если . Коротко: a_n – б. м,
b_n – б. б.

Выполняется соотношение: , .

Пример 1 Вычислить пределы:

1)

2) .