Линии 2 порядка на проективной плоскости
Приведение уравнения линии 2 порядка к каноническому виду. Квадрики.
Некоторые свойства линий 2 порядка на проективной плоскости в модели пополненной плоскости.
Теоремы Паскаля и Брианшона.
Проективные преобразования проективных пространств
Перспективные соответствия проективных прямых, проективных плоскостей. Некоторые инварианты при перспективных соответствиях.
Проективные преобразования и отображения проективных пространств: различные определения и их эквивалентность. Проективные преобразования в координатах.
Группа проективных преобразований и ее подгруппы. Проективно-аффинные преобразования.
Проективная классификация линий 2 порядка относительно группы проективных преобразований. Связь с аффинной классификацией.
Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
Схема решения задач элементарной геометрии методами проективной геометрии.
Примеры задач, решаемых методами проективной геометрии.
Практические задания с решениями
Решаемые задачи иллюстрируют лекционный курс, а также создают мотивацию к последующему изучению теоретического материала. Четкая запись условий задач, подробная, структурированная запись решения геометрических задач является основным требованием к работе как преподавателя, так и студентов, что необходимо для качественного объяснения и усвоения геометрического материала. Недопустимы «приблизительные» решения, а также их отсутствие (только чертеж), что создает иллюзию понимания.
Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий
Список необходимых сведений:определения аффинных преобразований и движений аффинного и евклидова пространства. Их свойства.
Практические задания
1. На плоскости относительно прямоугольной системы координат дано каноническое уравнение эллипса с параметрами a , b.Перевести аффинным преобразованием данный эллипсв единичную окружность с центром в начале координат.
Решение.
Каноническое уравнение эллипса .
Перепишем его в виде .
Рассмотрим аффинное преобразование .
Оно переводит эллипс в единичную окружность с уравнением .
Штрихи над координатами x и y показывают, что единичная окружность является образом. После того как уравнение образа получено, то штрихи можно не писать.
2. На плоскости относительно прямоугольной системы координат даны две единичные окружности: с центром в начале координат и с центром в точке .Перевести одну окружность в другую аффинным преобразованием.
Решение.
Рассмотрим две единичные окружности
и .
Рассмотрим движение . Оно является параллельным переносом на вектор с координатами и переводит первую окружность во вторую.
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 273;