Задачи с решениями по всему курсу.

Задача 1. Выяснить тип инволюции:

Решение. Пусть – инвариантная точка инволюции. Тогда

или

Откуда получаем, что

, или .

Так как , то получаем, что инволюция не имеет неподвидных точек, т.е. является эллиптической.

Задача 2. Вычислить координаты инвариантных точек инволюции:

Решение. Пусть – инвариантная точка инволюции. Тогда

или

Система совместна если и только если

.

Решая уравнение , получаем . Подставляя в первое уравнение, имеем , т.е. – инвариантная точка. Аналогично, подставляя в первое уравнение, получаем , т.е. – инвариантная точка инволюции.

Задача 3. Гомология задана центром , осью и точками и . Построить:

1) точку , где – данная точка прямой ;

2) точку , где – данная точка;

3) точку , где – данная точка.

Решение. 1) Возьмем произвольную точку , и построим : , . Далее, пользуясь соответственными точками и , строим .

Рис 42

Рис 43

Задача 4. Написать формулы проективного преобразования прямой по трем парам соответствующих точек: и , и , и , если , , .

Решение. Пусть – система векторов, согласованная относительно репера , т.е. и векторы порождают соответственно точки . Решив систему уравнений

получаем т.е. .

Пусть – система векторов, согласованная относительно репера , т.е. и векторы порождают соответственно точки . Решая систему уравнений

получаем т.е. .

В проективном преобразовании прямой репер переходит в репер , поэтому

Решив системы уравнений, получаем формулы проективного преобразования прямой:

Задача 5. (Задача о бабочке). Через внутреннюю точку O эллипса проведены три хорды [AB], [MN], [PQ]. Точка О является серединой хорды [AB], которая пересекает отрезки [PM] и [NQ] соответственно в точках E и F. Доказать, что точка О есть середина отрезка [EF].

Проективное решение.

Рис. 44

Рассмотрим перспективное отображение прямой (АВ) в пучёк прямых, проходящих через точку М, далее, согласно конструкции Штейнера, отображаем прямые, проходящие через точку М в пучёк прямых, проходящих через точку Q, которые в свою очередь снова отображаем перспективно на прямую (АВ). В результате точка Е перейдет в точку О, точка О – в точку F, точки А и В останутся неподвижными. Произведем симметрию относительно точки О. Точка F перейдет в некоторую точку G. При проективных преобразованиях сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной прямой, сохраняется, то есть (АВ,ОЕ) = (ВА, GO) =(AB,OG). Таким образом, Е=G. Cледовательно, точка О есть середина отрезка [EF].

Для сравнения рассмотрим классическое доказательство теоремы о бабочке в круге методами евклидовой геометрии.

Теорема о бабочке. Пусть через точку , являющуюся серединой хорды некоторой окружности, проведены две произвольные хорды и . Хорды и пересекают отрезок в точках и . Тогда точка является серединой отрезка .

Рис. 45

Доказательство. Опустим перпендикуляры и из точек и на прямую , затем перпендикуляры и из точек и на прямую . Введем обозначения: , , , – треугольник с вершиной и противолежащей ей стороной , аналогично и для других треугольников. Из рассмотрения пар подобных треугольников и , и , и , и вытекает, что

,

откуда

и , что и требовалось доказать.

Задача 6. Центр инволютивной гомологии имеет координаты , а ось гомологии – уравнение . Написать формулы преобразования.

Решение. Пусть , , где . Прямая имеет уравнение . Точка , где – ось гомологии имеет координаты . Так как – инволютивная гомология, то . Пусть . Проектируем точки , , из центра на прямую . Получаем: , , , .

,

откуда . Так как , то . Получаем, что , т.е. .

Аналогично находим , . , т.к. – центр гомологии. Матрица перехода от к имеет вид:

Согласовываем столбцы матрицы перехода, решая систему линейных уравнений

Получаем , , . Согласованная матрица перехода имеет вид:

.

Получаем аналитическое выражение заданной инволютивной гомологии:

или

Задача 7. Доказать теорему:

Если – полный четырехвершинник с вершинами на овальной кривой второго порядка, то каждая его диагональная точка является полюсом противолежащей диагонали.

Решение. Докажем, например, что является полюсом противолежащей диагонали , т.е. . Остальное доказывается аналогично. По теореме о гармонических свойствах полного четырехвершинника , . Отсюда следует, что и гармонически сопряжены с точкой относительно овальной кривой и, следовательно, лежат на ее поляре. Поэтому .

Рис. 46

Задача 8. Даны овальная кривая второго порядка и точка . Построить поляру точки , если:

1) – внешняя точка относительно ;

2) – внутренняя точка относительно ;

3) .

Решение.

1) Через проведем три секущие, пересекающие овальную кривую в точках , , , , , . Пусть , . Так как и лежат на поляре точки , то .

Рис. 47

2) Через проведем две произвольные прямые, пересекающие овальную кривую в точках , , , . Пусть , . На основании теоремы, доказанной в предыдущей задаче, делаем вывод, что и лежат на поляре точки , т.е. .

Рис. 48

3) Проводим через секущую и строим ее полюс . Тогда будет искомой касательной. Возьмем две внутренние точки и на прямой и построим их поляры и . Тогда и – касательная.

Рис. 49

Задача 9. Построить полюс данной прямой относительно данной овальной кривой второго порядка .

Решение. Возьмем две точки и на прямой и построим их поляры и . Тогда будет полюсом прямой .

Задача 10. Из данной точки евклидовой плоскости провести касательную к данной окружности с помошью одной линейки.

Указание. а) если , то поляра точки будет искомой касательной.

б) в случае касательными будут и , где .

Задача 11. Точка – внешняя относительно окружности с центром . Через точку проведены всевозможные секущие к окружности , отличные от прямой . Доказать, что точки пересечения касательных к окружности в точках ее пересечения с каждой секущей лежат на одной прямой, перпендикулярной к прямой .

Рис. 50

Решение. Точка является полюсом для . Поляра точки проходит через , так как , т.е . Аналогично, является полюсом для и поляра точки проходит через , так как , т.е . Получили, что . Так как точки и взяты произвольно, то всякая точка , являющаяся точкой пересечения касательных к окружности в точках ее пересечения с секущей, будет принадлежать поляре точки , т.е. . Пусть . По свойству окружности касательные в точках и к перпендикулярны и пересекаются в несобственной точке . Поэтому .

Задача 12. В окружности проведены параллельные хорды и в их концах – касательные к окружности. Доказать, что точки пересечения касательных в концах каждой из хорд лежат на одной прямой, перпендикулярной этим хордам и проходящей через центр окружности .

Указание. Сводится к задаче 11, когда является несобственной точкой. Остается лишь показать, что . Пусть . Тогда , так как , откуда следует, что – середина отрезка и ( – несобственная точка прямой ).

Рис. 51

Задача 13. Овальная кривая второго порядка задана тремя своими точками и касательными в двух из них. Построить:

1) касательную в третьей точке;

2) еще одну точку кривой.

Решение. Используем предельный случай теоремы Паскаля. Пусть , где , , где – заданные касательные.

1) Построим касательную в третьей точке, т.е. прямую , где . Строим , , . Прямая – искомая касательная.

Рис. 52

2) Построим точку . Пусть . Проводим через произвольную прямую , не проходящую через и , и пусть . Строим и .

Рис. 53

Задача 14. Центр инволютивной гомологии имеет координаты , а ось гомологии – уравнение . Написать формулы преобразования.

Решение. Пусть , , где . Прямая имеет уравнение . Точка , где – ось гомологии имеет координаты . Так как – инволютивная гомология, то . Пусть . Проектируем точки , , из центра на прямую . Получаем: , , , .

,

откуда . Так как , то . Получаем, что , т.е. .

Аналогично находим , . , т.к. – центр гомологии. Матрица перехода от к имеет вид:

Согласовываем столбцы матрицы перехода решая систему линейных уравнений

Получаем , , . Согласованная матрица перехода имеет вид:

.

Получаем аналитическое выражение заданной инволютивной гомологии:

или

Задача 15. Доказать теорему:

Если – полный четырехвершинник с вершинами на овальной кривой второго порядка, то каждая его диагональная точка является полюсом противолежащей диагонали.

Решение. Докажем, например, что является полюсом противолежащей диагонали , т.е. . Остальное доказывается аналогично. По теореме о гармонических свойствах полного четырехвершинника , . Отсюда следует, что и гармонически сопряжены с точкой относительно овальной кривой и, следовательно, лежат на ее поляре. Поэтому .

Рис. 54

Задача 16. Даны овальная кривая второго порядка и точка . Построить поляру точки , если:

1) – внешняя точка относительно ;

2) – внутренняя точка относительно ;

3) .

Решение.

1) Через проведем три секущие, пересекающие овальную кривую в точках , , , , , . Пусть , . Так как и лежат на поляре точки , то .

Рис. 55

2) Через проведем две произвольные прямые, пересекающие овальную кривую в точках , , , . Пусть , . На основании теоремы, доказанной в предыдущей задаче, делаем вывод, что и лежат на поляре точки , т.е. .

Рис. 56

3) Проводим через секущую и строим ее полюс . Тогда будет искомой касательной. Возьмем две внутренние точки и на прямой и построим их поляры и . Тогда и – касательная.

Рис. 57

Задача 17. Построить полюс данной прямой относительно данной овальной кривой второго порядка .

Решение. Возьмем две точки и на прямой и построим их поляры и . Тогда будет полюсом прямой .

Задача 18. Из данной точки евклидовой плоскости провести касательную к данной окружности с помошью одной линейки.

Указание. а) если , то поляра точки будет искомой касательной.

б) в случае касательными будут и , где .

Задача 19. Точка – внешняя относительно окружности с центром . Через точку проведены всевозможные секущие к окружности , отличные от прямой . Доказать, что точки пересечения касательных к окружности в точках ее пересечения с каждой секущей лежат на одной прямой, перпендикулярной к прямой .

Рис. 58

Решение. Точка является полюсом для . Поляра точки проходит через , так как , т.е . Аналогично, является полюсом для и поляра точки проходит через , так как , т.е . Получили, что . Так как точки и взяты произвольно, то всякая точка , являющаяся точкой пересечения касательных к окружности в точках ее пересечения с секущей, будет принадлежать поляре точки , т.е. . Пусть . По свойству окружности касательные в точках и к перпендикулярны и пересекаются в несобственной точке . Поэтому .

Задача 20. В окружности проведены параллельные хорды и в их концах – касательные к окружности. Доказать, что точки пересечения касательных в концах каждой из хорд лежат на одной прямой, перпендикулярной этим хордам и проходящей через центр окружности .

Указание. Сводится к задаче 11, когда является несобственной точкой. Остается лишь показать, что . Пусть . Тогда , так как , откуда следует, что – середина отрезка и ( – несобственная точка прямой ).

Рис. 59

Задача 21. Овальная кривая второго порядка задана тремя своими точками и касательными в двух из них. Построить:

3) касательную в третьей точке;

4) еще одну точку кривой.

Решение. Используем предельный случай теоремы Паскаля. Пусть , где , , где – заданные касательные.

2) Построим касательную в третьей точке, т.е. прямую , где . Строим , , . Прямая – искомая касательная.

Рис. 60

2) Построим точку . Пусть . Проводим через произвольную прямую , не проходящую через и , и пусть . Строим и .

Рис. 61

Задача 22. Овальная кривая второго порядка задана тремя касательными к ней и точками касания двух из них. Построить:

1) еще одну касательную;

1) еще одну точку кривой.

Решение. Пусть , , – заданные касательные и , – точки касания, , . Используем предельный случай теоремы Брианшона.

1) Пусть , . Возьмем на касательной некоторую точку . Строим точку Брианшона и . – искомая касательная.

Рис. 62

2) Построим точку касания . Пусть , , . Строим точку Брианшона . – искомая точка кривой.

Рис. 63

Задача 23. На евклидовой плоскости даны ось, вершина и еще одна точка параболы. Построить касательную к параболе в этой точке.

Рис. 64

Решение. Используем предельный случай теоремы Паскаля. Касательной к параболе в ее вершине является перпендикуляр к оси, поэтому вершину будем считать двойной точкой , а касательную обозначим как . Касательной к параболе в несобственной точке оси является несобственная прямая, поэтому обозначим несобственную точку оси как . Так как нас интересует касательная в заданной точке, то она также будет двойной точкой . Строим и . Находим точку используя то, что и . Прямая – искомая касательная в точке .

Задача 24. Даны две асимптоты гиперболы и одна ее точка. Построить:

1) касательную к гиперболе в данной точке;

2) еще одну точку гиперболы.

Решение. Известно, что асимптоты гиперболы на расширенной плоскости являются касательными в ее несобственных точках. Воспользуемся предельным случаем теоремы Паскаля. Несобственные точки асимптот будем считать двойными точками и