Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.

Прежде всего рассмотрим проективную прямую P¹, вложенную в расширенную плоскость.

Обсудим отличие аффинной прямой от проективной. Ясно, что проективная прямая имеет на одну точку больше, чем аффинная. Напомним, что координатой точки M аффинной прямой в репере (A, e) называется такое число x, что = xe.

Лемма. Пусть на расширенной прямой выбраны репер R = (A, B_∞, E), где B_∞ - несобственная точка, и собственная точка M, имеющая в репере R координаты (x¹, x²). Тогда точка M в аффинном репере (A, ) аффинной прямой d имеет координату .

Доказательство. Возьмем собственную точку O расширенной плоскости, не лежащую на прямой . Пусть x - аффинная координата точки M в репере (A, ), то есть = x .

Пусть вектор параллелен прямой d и + = . Система векторов , , согласована и порождает точки проективного репера R = (A, B_∞, E), заметим, что = . Поскольку = x , то = + x . Вектор порождает точку M, поэтому числа (1,x) являются координатами точки M в репере R. По условию леммы (x¹, x²) также координаты точки M, следовательно (1,x) и (x¹, x²) пропорциональны, т.е. x= , что и требовалось доказать.

Обобщим конструкцию на случай репера, заданного на расширенной плоскости . Пусть на задан репер R = (A, Х_∞, Y_∞, E), где точки A и E - собственные, а X_∞, Y_∞ - бесконечно удаленные.

Пусть E₃= (AX_∞) ∩ (Y_∞ E), E₂= (A Y_∞) ∩ (X_∞ E). Если M_∞ есть какая-либо несобственная точка расширенной плоскости, то она принадлежит бесконечно удаленной координатной прямой (X_∞ Y_∞), и имеет координаты (0, x², x³). Если N(y¹, y², y³) – собственная точка, то y¹≠ 0. Положим e₁ = и e₂ = , тогда на аффинной плоскости = e₁ + e₂.

Рассмотрим аффинный репер R₀ = (A, e₁, e₂), пусть в этом репере точка N имеет координаты (x, y). Используя результат леммы, имеем x = , y = .

Рассмотрим множество H всех проективных преобразований расширенной плоскости, переводящих несобственную прямую (Х_∞ Y_∞) в себя, H есть подгруппа группы всех проективных преобразований плоскости. Пусть f H, запишем аналитическое выражение преобразования f в репере Â = (A, Х_∞, У_∞, E):

(1)

Бесконечно удаленная прямая имеет уравнение x³=0 и при преобразовании f переходит в себя, следовательно, = 0, = 0. В формулах (1) ρ ≠ 0, ≠ 0, ≠ 0.

Разделив почленно первое и второе равенства в (1) на третье, получаем

, где = , i, j = 1,2, ≠ 0.

Группа аффинных преобразований аффинной плоскости изоморфна H, таким образом, аффинную геометрию на плоскости можно рассматривать как геометрию, изучающую свойства фигур, инвариантных относительно группы H.

Приложение 1

Ответы, указания, решения задач к главам 1, 2, 3.

Задача 1. Если прямая , то точка не имеет образа.

Задача 2. Поле , т.е. состоит из двух элементов. Операции сложения и умножения задаются таблицами

+

соcтоит из всевозможных линейных комбинаций , где , , ( , – базисные векторы). Как множество содержит ровно три элемента: , которые попарно неколлинеарны и поэтому порождают ровно три точки проективной прямой .

Задача 3. состоит из всевозможных линейных комбинаций , где , , – базис . содержит ровно семь элементов , , , , , , , которые попарно неколлинеарны и поэтому порождают ровно семь точек .

Введем обозначения: , , , , , , , где . , так как вектор , порождающий точку , принадлежит двумерному векторному подпространству, порождающему прямую . Аналогично, , . Очевидно, не принадлежит ни одной из прямых , , в силу того, что любые три из четверки векторов , , , некомпланарны. , , (подумайте почему). Имеем шесть прямых (рис. 26 ) и седьмую (необозначенную на рисунке), проходящую через точки , , ( векторы . , очевидно компланарны, т.к. , поскольку 1+1 =0).

Рис. 26

Задача 4. Пусть – базис трехмерного векторного пространства над полем , порождающего . Векторы , , , попарно неколлинеарны и поэтому порождают четыре различные точки. Так как никакие три вектора из этой четверки векторов некомпланарны, то никакие три точки не лежат на одной прямой.

Задача 5. . Пусть порождает прямую плоскости . как множество состоит из следующих элементов: { , , , , , }. Векторы , и , коллинеарны. Имеем четверку попарно неколлинеарных векторов , , , , которые порождают ровно четыре различные точки проективной прямой .

Задача 6. . Пусть – базис , порождающего . как множество состоит из линейных комбинаций векторов вида , где . Так как может принимать различных значений, то имеется ровно различных элементов в . В будет соответственно на один элемент меньше, т.е. , но не все они будут попарно неколлинеарны. Каждый вектор входит в это множество вместе с семейством коллинеарных векторов вида , . Таким образом, имеется ровно попарно неколлинеарных векторов в , которые порождают точку.

Задача 7. Так как прямая имеет размерность , то из предыдущей задачи получаем, что прямая содержит различную точку.

Задача 8. будет иметь наименьшее число точек, если поле будет тривиальным, т.е. состоять из двух элементов – нуля и единицы. , порождающее , будет состоять из всевозможных линейных комбинаций базисных векторов, т.е. из векторов вида , где . Получаем, что будет состоять из попарно неколлинеарных векторов, порождающих 15 различных точек .

Задача 9. Построим точку . Рассмотрим пучок прямых с центром в точке . Возьмем вектор , параллельный прямой и разложим его по прямым и . Получим . Система векторов , , согласована относительно репера . Построим вектор и прямую . Тогда в соответствии с определением проективных координат . Аналогично строится точка . Точки и совпадают, т.к. их координаты пропорциональны.

Задача 10. Возьмем вектор с началом в точке и разложим его по прямым и . Если обозначить через и его составляющие, то и система векторов , , согласована относительно проективного репера . Строим вектор . Тогда прямая пучка, параллельная вектору , будет искомой прямой .

Рис.27

Задача 11. Пусть, например, – несобственная точка расширенной прямой . Рассмотрим пучок прямых с центром в т. . Разложим вектор по прямым и , где . Тогда . Система векторов , , – согласована относительно репера . Пусть . Построим вектор . Тогда , где .

Можно и по-другому: если , то в аффинной системе координат точка имеет координату .

Рис.28

Задача 12. Возьмем собственную точку расширенной плоскости, не лежащую на . , т.к. – середина отрезка . Система векторов , , согласована относительно репера . Вектор порождает точку . Следовательно, , или иначе .

Рис. 29.

Задача 13. На прямой возьмем ненулевой вектор и разложим его по правилу параллелограмма на сумму базисных векторов и , лежащих на прямых (ОA₁) и (ОA₂). Тогда , , , (подумайте почему). Аффинный репер порождает тот же проективный репер . Векторы и коллинеарны и порождают одну и ту же точку прямой .

Задача 14. Пусть – аффинный репер, порождающий проективный репер . Тогда , , , , где , , . Обозначим , . Тогда из определения простого отношения трех точек имеем: , .

Так как векторы и равны, то равны их координаты относительно базиса :

откуда , , . Аналогично,

Из равенства имеем:

или

Откуда

Рис. 30

Задача 15. Точка , т.к. третья ее координата равна 0. В репере точка имеет координаты , т.е. . Таким образом, задача сводится к ранее рассмотренной задаче построения точки на расширенной прямой по ее координатам в репере на этой прямой. Аналогично, , где . Для построения точки найдем сначала ее проекции и на прямые и соответственно из центров и . , . Получаем . .

Рис. 31

Задача 16. Пусть – проекция на из центра . Тогда , где . , т.к. система векторов , , согласована относительно . Пусть – проекция на из центра . Тогда , где . Система векторов , , согласована относительно . Вектор параллелен прямой , поэтому – несобственная точка расширенной прямой . Таким образом, является точкой пересечения прямой с прямой, параллельной и проходящей через точку .

Рис. 32

Задача 17. Уравнение прямой : . Очевидно , где , . и , где . Аналогично, и , где . Строим точки и по их координатам в соответствующих реперах на расширенных прямых и получаем .

Задача 18. Рассмотрим случай, когда три прямые попарно различны. Пусть . Напомним, что любые две прямые на расширенной плоскости пересекаются в собственной или несобственной точке. Общее уравнение системы из двух однородных линейных уравнений

Имеет вид:

, , , .

Нас интересует случай, когда . , т.е. тогда и только тогда, когда

Окончательно, прямые проходят через одну точку в том и только том случае, когда

19. а) Запишем матрицу перехода от репера к :

Столбцы этой матрицы согласованы. Получаем формулы преобразования проективных координат:

б) Запишем матрицу перехода от репера к :

Столбцы этой матрицы не согласованы. Для согласования решаем систему линейных уравнений:

Получаем , , .

Согласованная матрица перехода имеет вид:

Записываем формулы преобразования проективных координат:

Задача 20. Указание. Построить невырожденную конфигурацию Дезарга, разместив деревья в точках , , , , , , , , , .

Задача 21. Построим треугольники и так, чтобы точки и лежали на прямой , точки и на прямой и чтобы соответственные стороны треугольников пересекались в точках на прямой . Тогда в силу обратной теоремы Дезарга прямая пройдет через .

Построение. Берем произвольные точки и на прямой и точку на прямой . Строим треугольник и проводим произвольную прямую , не проходящую через , , , . Получаем: , , , . Точку получаем как пересечение ( ) и ( ). Проводим ( ).

Рис.33

Задача 22. Указание. Имеем здесь частный случай предыдущей задачи, когда и параллельны.

Задача 23. Рассмотрим треугольники и . Прямые , и параллельные, а значит имеют общую несобственную точку на расширенной плоскости. Таким образом, мы находимся в условиях теоремы Дезарга (два трехвершинника и имеют центр перспективы). Следовательно, точки , , лежат на одной прямой.

Рис.34

Задача 24. Рассмотрим два треугольника и . , , . Так как , то – несобственная точка прямых , и . Следовательно, . Таким образом, мы находимся в условиях обратной теоремы Дезарга для трехвершинников и (они имеют ось перспективы). Следовательно, они имеют и центр перспективы, т.е. прямые , , принадлежат одному пучку.

Задача 25.

и т.д.

Задача 26. Рассмотрим проективный репер и пусть , . Тогда , .

откуда и следует утверждение задачи.

Задача 27. Проведем прямую , не проходящую через точку . Обозначим , , , . По условию – биссектриса внутреннего угла треугольника, – биссектриса внешнего угла треугольника при вершине .

Отсюда , . Получаем:

Рис. 35

Задача 28. Обозначим .

, т.к. , т.е. .

Рис. 36

Задача 29. Обозначим . Тогда

, т.к. – середина отрезка .

Рис. 37

Задача 30. Пусть – несобственная точка расширенной прямой . Тогда ( – середина отрезка ), т.е. точки , гармонически разделяют пару точек , . Построим полный четырехвершинник так, чтобы и были диагональными точками, – точкой пересечения со стороной, проходящей через третью диагональную точку. Тогда по свойству полного четырехвершинника, т.е. на аффинной плоскости. Отсюда вытекает следующий способ построения искомой прямой. На прямой возьмем точку так, чтобы точка лежала между точками и . Далее проводим прямые , и строим точки , . – искомая прямая, параллельная .

Рис. 38

Задача 31. Способ построения непосредственно вытекает из решения предыдущей задачи. Возьмем точку , не лежащую на двух заданных параллельных прямых и . Строим точки: , , . Точка – середина отрезка , что следует из свойства полного четырехвершинника .

Рис. 39 Рис. 40

Задача 32. Через точку проведем прямую , параллельную и (задача 22). Пусть , , . Тогда – середина отрезка . Через точку проведем прямую, параллельную (задача 30).

Если задана окружность с центром , то построим сначала какой-нибудь параллелограмм, пользуясь тем свойством, что всякий диаметр окружности делится центром окружности пополам. Проведем два диаметра и , и возьмем произвольную точку , которая им не принадлежит. Проведем через нее прямые, параллельные и . Получим параллелограмм, у которого точки и являются вершинами.