Сравнительное изложение аффинной и евклидовой

Геометрий

Общее определение аффинного и аффинного евклидова пространства (в аксиоматике Вейля). Общее определение скалярного произведения векторов. Понятие системы координат в аффинном пространстве и прямоугольной системы координат в аффинном евклидовом пространстве. Координаты точек и формулы преобразования координат точек, геометрический смысл матрицы перехода. Длина отрезка в координатах в произвольной и прямоугольной системе координат.

Аффинные преобразования аффинного пространства. Движения евклидова пространства. Инварианты аффинных преобразований. Инварианты движений.

Алгебраические кривые 1 и 2 порядка в аффинных пространствах. Классификация кривых 2 порядка относительно группы аффинных преобразований и относительно группы движений.

Эрлангенская программа Клейна.

Построение проективного пространства

Центральное проектирование в аффинном пространстве. Введение несобственных элементов и построение проективного пространства. Общее определение проективного пространства.

Модели проективной прямой, проективной плоскости и трехмерного проективного пространства.

Некоторые свойства точек и прямых и их проверка в различных моделях проективной плоскости.

Принцип двойственности на проективной плоскости и в трехмерном проективном пространстве.

Проективные координаты точек, проективные системы координат

Введение проективных координат точек и проективных систем координат в различных моделях проективной прямой, проективной плоскости. Общее определение проективной системы координат в проективном пространстве.

Однородные координаты как частный случай проективных координат на проективной прямой и проективной плоскости в моделях пополненной прямой и пополненной плоскости соответственно. Связь между аффинными и однородными координатами для собственных точек пополненной прямой и пополненной плоскости.

Формулы преобразования проективных координат точек.

Линии 1 порядка на проективной плоскости

Уравнения прямой на проективной плоскости. Проективные координаты прямой. Обоснование принципа двойственности на проективной плоскости.

Двойное (сложное отношение) четырех точек, лежащих на одной прямой. Двойное (сложное отношение) четырех прямых, принадлежащих одному пучку.

Гармонические четверки точек и прямых.

Полный четырехвершинник и полный четырехсторонник.

Теоремы Дезарга и Паппа.