ГЛАВА 3. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ

§17. Понятие проективной линии второго порядка

Множество всех точек проективной плоскости, координаты которых в некотором репере удовлетворяют действительному однородному уравнению второй степени, т.е. уравнению вида

a₁₁(x¹)² + a₂₂(x²)² + a₃₃(x³)² + 2 a₁₂x¹ x² + 2 a₁₃x¹ x³ + 2 a₂₃x² x³ = 0 (1)

называется линией или кривой второго порядка.

В однородном уравнении второй степени все действительные числа a_ij не обращаются одновременно в нуль. Положим для удобства a_ij = a_ji i,j = , тогда уравнение линии второго порядка можно записать в виде:

a_ij xⁱ x^j = 0

Если очевидны пределы суммирования, то, следуя правилу А.Эйнштейна, знак суммы можно опустить:

a_ij xⁱ x^j = 0 (2)

Понятие линии второго порядка является геометрическим и не зависит от выбора репера на проективной плоскости. Если фигура в репере Â = (A₁, A₂, A₃, E) имеет уравнение (2), а Â' = (A'₁, A'₂, A'₃, E') – другой проективный репер, формулы преобразования координат точек при переходе от репера Â к реперу Â' представляются в следующем виде (см. §7,(3)):

λ x^j = b^j_i yⁱ , j = , λ ≠ 0 (3)

где (x¹, x², x³) – координаты точки в репере Â, а (y¹, y², y³) – координаты этой же точки в репере Â'. Подставляя выражения (3) в уравнение (2), имеем 0 = a_ij xⁱ x^j = a_ij ( bⁱ_k y^k) ( b^j_m y^m) = ( a_ij bⁱ_k b^j_m) y^k y^m.

Полагая a'_ij = a_rs b^r_i b^s_j, получаем уравнение линии второго порядка в репере Â':

a'_ij yⁱ y^j = 0 (4)

Замечание. Индексы, по которым идет суммирование, называются "слепыми", их можно переобозначать, например: b^j_k y^k = b^j_p y^p.

Заметим, что det(b^j_k)³_i,k=1 ≠ 0. В курсе линейной алгебры доказывается, что при умножении матрицы A на невыраженную матрицу B ранг матрицы A не меняется.

rg(A) =rg(A·B).

Значит, rg(a_ij)³_i,j=1 = rg(a'_ij)³_i,j=1. Таким образом, в уравнении (4) не все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Тем самым доказано, что, во-первых, понятие линии второго порядка не зависит от выбора репера, и, во-вторых, ранг матрицы, составленной из коэффициентов уравнения линии второго порядка, также не зависит от выбора репера. Таким образом, можно определить понятие ранга линии второго порядка, как ранг матрицы коэффициентов ее уравнения в некотором, а значит и в любом репере.

Линия второго порядка называется невырожденной, если ее ранг максимален, т.е. равен 3 (в этом случае det(a_ij) ³_i,j=1 ≠ 0). И вырожденной, если rg(a_ij ) ³_i,j=1 < 3. (Заметим, что для любой линии второго порядка ее ранг не равен нулю).

Лемма. Любая проективная прямая имеет с невыражденной проективной линией второго порядка не более двух различных общих действительных точек.

§18. Проективная классификация линий второго порядка.

Допустим, что линия второго порядка на проективной плоскости в некотором репере имеет общее уравнение

a_ij xⁱ x^j = 0 (1)

В трехмерном векторном пространстве V³ рассмотрим квадратичную форму q, т.е. для x(x¹ x² x³) V³

q( ) = a_ij xⁱ x^j (2)

Из курса линейной алгебры известно, что в трехмерном векторном пространстве V³ найдется базис, в котором квадратичная форма q имеет нормальный вид. Поскольку, согласно определению Г. Вейля, V³ порождает проективную плоскость P², то в P² найдется репер, в котором уравнение линии второго порядка имеет вид

ε₁(x¹)'(x¹)' + ε₂(x²)'(x²)' + ε₃(x³)'(x³)' = 0 , (3)

где коэффициенты ε₁, ε₂, ε₃ равны -1, 1 или 0, но одновременно все три коэффициента не обращаются в нуль.

Таким образом, мы приходим к каноническому уравнению линии второго порядка.

Перебирая все возможные варианты для коэффициентов ε₁, ε₂, ε₃, убеждаемся, что на проективной плоскости существует пять типов линий второго порядка. Все они представлены в следующей таблице.

Указанные типы линий проективно различны, то есть не существует проективного преобразования, которое линию одного типа переводит в линию другого типа.

Однако, любые две линии одного и того же типа проективно эквивалентны.

Основное внимание в дальнейшем изложении мы будем уделять овальной линии.

Задача 43. Определить тип линии второго порядка

(x¹)² + 2x¹x² + 2(x²)² - (x³)² = 0.

§19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.

Допустим, что задана невыраженная (т.е. максимального ранга) линия второго порядка, имеющая в некотором репере уравнение

a_ij xⁱ x^j = 0 (1)

Кроме того, прямая d, проходящая через точки P (p¹, p², p³) и Q (q¹, q², q³), имеет в этом же репере параметрические уравнения

x¹= λ p¹ + μ q¹; x²= λ p² + μ q²; x³= λ p³ + μ q³ (2)

Поставим задачу нахождения точек пересечения линии второго порядка с прямой d. Для решения этой задачи подставим x¹, x² и x³ из параметрических уравнений прямой d в общее уравнение линии второго порядка. Ясно, что мы получим однородное уравнение второй степени относительно λ и μ:

A₁₁ λ² + 2A₁₂λμ + A₂₂μ = 0 (3)

Можно посчитать коэффициенты A₁₁ A₁₂ A₂₂, из которых хотя бы один отличен от нуля:

A₁₁ = a_ij pⁱp^j ; A₁₂ = a_ij pⁱq^j ; A₂₂ = a_ij qⁱq^j ; (4)

Каждой ненулевой паре (λ, μ) действительных решений этого уравнения соответствует общая точка прямой и линии второго порядка. Однородное уравнение всегда имеет тривиальное решение, однако оно нам не подходит, так как, если λ = μ = 0, то x¹ = x² = x³ = 0, но на проективной плоскости нет точки, все координаты которой равны нулю. Допустим, что μ ≠ 0, тогда легко получить квадратное уравнение:

A₁₁ + 2A₁₂ + A₂₂ = 0 (5)

Исследуем дискриминант этого уравнения

= (A₁₂)² – A₁₁ A₂₂ (6)

Если D > 0, то уравнение (5) и, соответственно, (3) имеет (с точностью до числового множителя) два непропорциональных вещественных решения относительно λ и μ. В этом случае прямая d пересекается с линией второго порядка в двух точках.

Если D < 0, то уравнение (3) не имеет вещественных решений, и линия второго порядкаи d не имеют вещественных общих точек.

Если D = 0, то линия второго порядкаи d имеют одну общую точку (две совпадающих точки). В этом случае прямая d называется касательной к линии второго порядка. Из соотношения (6) имеем условия касания:

(A₁₂)² - A₁₁ A₂₂ = 0 (7)

В каждой точке невыраженной линии второго порядка существует единственная касательная.

Если точка P (p¹, p², p³) принадлежит линии второго порядка, то A₁₁ = a_ij pⁱp^j = 0, и условие касания (7) принимает простой вид:

A₁₂ = 0 (8)

Расписывая соотношение (8), заменяя точку Q на текущую точку X(x¹,x²,x³), приходим к уравнению касательной:

(a₁₁p¹+ a₂₁ p²+ a₃₁ p³) x¹ +
(a₁₂p¹+ a₂₂ p²+ a₃₂ p³) x² + (9)
(a₁₃p¹+ a₂₃ p²+ a₃₃ p³) x³ = 0

Напомним, что мы полагаем a_ij = a_ji для любых индексов i, j от 1 до 3.

Задача 44. Овальная линия в каноническом репере задана уравнением

(x¹)² + (x²)² - (x³)² = 0

Написать уравнение касательной прямой, проходящей через точку P(1,1, ).

§20. Полюс, поляра, поляритет.

Пусть на проективной плоскости P² задана овальная линия γ, имеющая в некотором репере уравнение

a_ij xⁱ x^j = 0 (1)

Определение. Точки P (p¹, p², p³) и Q (q¹, q², q³) называются сопряженными относительно овальной линии, если выполняется условие

a_ij pⁱq^j = 0 (2)

На первый взгляд может показаться, что сопряженность двух точек относительно овальной линии зависит от выбора репера, поскольку уравнение овальной линии рассматривается в определенном репере. Однако, как мы убедимся позже, сопряженность точек относительно овальной линии носит геометрический характер, то есть не зависит от выбора репера на проективной плоскости.

Если точка P лежит на овальной линии, то, вспоминая уравнение касательной прямой к линии второго порядка ((9) §19), убеждаемся, что точки P и Q сопряжены относительно γ тогда и только тогда, когда точка Q лежит на касательной к линии второго порядка в точке P.

Следующая теорема раскрывает геометрический смысл сопряженности двух точек, не лежащих на данной овальной линии.

Теорема. Пусть на проективной плоскости заданы овальная линия γ, и две точки P и Q, не лежащие на γ, причем прямая (PQ) пересекает γ в двух различных точках M и N. Для того, чтобы P и Q были сопряжены относительно γ, необходимо и достаточно, чтобы пара точек P и Q гармонически разделяла пару точек M и N, (т.е. чтобы сложное отношение четырех точек P, Q, M и N было равно -1: (PQ, MN) = -1.

Рис. 17.

Доказательство. Выберем на проективной плоскости произвольный репер R = (A₁, A₂, A₃, E), пусть в этом репере овальная линия имеет уравнение (1) и точки P и Q приобретают проективные координаты P (p¹, p², p³) , Q (q¹, q², q³); прямая (PQ) задается параметрическими уравнениями

x¹= λ p¹ + μ q¹; x²= λ p² + μ q²; x³= λ p³ + μ q³ (3)

Пусть точки пересечения прямой (PQ) и овальной линии имеют следующие координаты:

M(λ₁ p¹ + μ₁ q¹, λ₁ p² + μ₁ q², λ₁ p³ + μ₁ q³)

N(λ₂ p¹ + μ₂ q¹, λ₂ p² + μ₂ q², λ₂ p³ + μ₂ q³) .

Вычислим сложное отношение (PQ, MN). Обозначим через P′, Q′, M′, N′ проекции точек P, Q, M, N на координатную прямую (A₁A₂) из центра A₃, тогда в репере R₃ = (A₁, A₂, E₃) (E₃ =( A₃ E ∩ (A₁ A₂)) имеем P′ (p¹, p²) ,
Q′ (q¹, q²), M′(λ₁ p¹ + μ₁ q¹, λ₁ p² + μ₁ q²), N′(λ₂ p¹ + μ₂ q¹, λ₂ p² + μ₂ q²).

(PQ, MN) = (P′Q′, M′N′) = =
= =

Заметим, что = -1 тогда, и только тогда, когда = 0

Подставляя соотношение (3) в уравнение (1), получаем после деления на λ²:

A₂₂ + 2A₁₂ + A₁₁ = 0 (4)

Поскольку точки P и Q не лежат на овальной линии, то A₂₂ = a_ijpⁱq^j ≠ 0 A₁₁ = a_ij pⁱq^j ≠ 0.

Так как точки M и N лежат на овальной линии, то = - .

Точки P и Q сопряжены относительно γ тогда и только тогда, когда a_ijpⁱq^j = A₁₂= 0, т.е. P и Q сопряжены, если и только если = 0, что в свою очередь равносильно тому, что (PQ, MN) = -1.

Определение. Пусть на проективной плоскости задана овальная линия γ и точка P. Полярой называется множество точек d, сопряженных с точкой P относительно γ, а сама точка P называется полюсом поляры d.

Если овальная линия задается в некотором репере уравнением (1), точка P имеет координаты (p¹, p², p³), то из условия сопряженности (2) получаем уравнение поляры d:

(a_i1pⁱ) x¹ + (a_i2pⁱ) x² + (a_i3pⁱ) x³ = 0 (5)

Поскольку овальная линия невырождена, то не все коэффициенты при x¹, x², x³ равны нулю, поэтому d – прямая. Для каждой точки P (p¹, p², p³), проективной плоскости существует поляра (5) относительно овальной линии (1), и обратно для каждой прямой u₁ x¹ + u₂x² + u₃x³ = 0 существует единственный полюс P, координаты которого определяются системой уравнений

a₁₁p¹+ a₂₁ p²+ a₃₁ p³ = λu₁
a₁₂p¹+ a₂₂ p²+ a₃₂ p³) = λu₂
a₁₃p¹+ a₂₃ p²+ a₃₃ p³) = λu₃,

где λ ≠ 0.

Овальная линия не вырождена, определитель системы не равен нулю, поэтому точка P определяется однозначно (координаты точки P находятся с точностью до ненулевого множителя).

Таким образом, любая овальная линия определяет биекцию P² → (P²)′ проективной плоскости P² на множество (P²)′ ее прямых.

Теорема о взаимности поляритета. Пусть на проективной плоскости задана овальная линия. Если точка Q лежит на поляре точки P, то точка P лежит на поляре точки Q.

Задача 45. С помощью одной линейки (без циркуля) построить касательную, проходящую через заданную точку, к заданной овальной линии на расширенной плоскости.

Задача 46.Пусть на расширенной плоскости задана овальная линия. По данному полюсу построить поляру; по данной поляре построить полюс.

§21. Теорема Штейнера.

Теорема Штейнера позволяет дать геометрическое определение овальной линии второго порядка при помощи отображения одного пучка прямых на другой.

Теорема Штейнера. На проективной плоскости множество точек пересечения соответствующих прямых двух проективных, но не перспективных пучков есть невырожденная кривая второго порядка. И обратно, два пучка с центрами на кривой второго порядка, у которых соответствующие прямые пересекаются на этой кривой – проективны.

Доказательство. Пусть даны два пучка с различными центрами O₁ и O₂ и установлено проективное, но не перспективное отображение f первого пучка на второй. Докажем, что множество γ точек пересечения соответственных прямых этих пучков есть овальная линия, проходящая через точки O₁ и O₂.

Обозначим через m прямую (O₁O₂) и рассмотрим прообраз n этой прямой m=f(n). Отображение f зададим с помощью трех попарно различных прямых n, m, l пучка O₁ и их образов m, m′, l′ в пучке O₂:

f: n m; m m′; l l′

Прямые n, m′, l′ попарно различны, так как f не является перспективным отображением, поэтому точки O₁=n∩m, O₂=m∩m′ и O₃=n∩m′ не лежат на одной прямой, точка E=l∩ l′ не принадлежит прямым m, m′, n, следовательно, мы получим репер Â = (O₁, O₂ , O₃ ,E,).

Пусть X (x¹, x², x³) произвольная точка, не лежащая на сторонах трехвершинника O₁O₂O₃ . По определению сложного отношения прямых (mn, l(O₁ X)) = (O₂O₃,E₁,X₁), и (m′m, l′(O₂ X)) = (O₃O₁,E₂,X₂) (см. рисунок 18).

В репере R₂ = (O₂, O₃ ,E₁) на координатной прямой (O₁O₂) точка X₁ имеет координаты (x², x³), поэтому (O₂O₃,E₁,X₁) = . Аналогично, (O₃O₁,E₂,X₂) = . Таким образом, (mn, l(O₁X)) = ; (m′m, l′(O₂X)) = .

Если X γ, то в силу сохранения проективным отображением сложного отношения имеем (mn, l (O₁ X)) = (m′m, l′ (O₂X)).

Поэтому = , и мы получаем уравнение линии второго порядка:

(x¹x²) - (x³)² = 0 (1)

Если Х γ, то (mn, l (O₁X)) ≠ (m′m, l′ (O₂X)), и ≠ , т.е. координаты точки Х не удовлетворяют уравнению (1). Если точка X лежит на сторонах трехвершинника O₁O₂O₃, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), если, и только если Х совпадает с одной из точек O₁(1,0,0) и O₂(0,1,0), которые принадлежат множеству γ. Уравнение (1) есть уравнение второй степени, ранг максимален, следовательно, оно определяет невыраженную линию второго порядка, на которой есть действительные точки O₁ и O₂, т.е. овальную линию.

Обращая рассуждения, получаем вторую часть теоремы Штейнера.

Задача 47. Сформулировать предложение, двойственное теореме Штейнера.

§22. Теоремы Паскаля и Брианшона .

Пусть шесть точек A₁, A₂,…, A₆ заданы на овальной линии второго порядка. Тогда три точки пересечения прямых (A₁, A₅) и (A₂, A₄), (A₃, A₄) и (A₁, A₆), (A₂, A₆) и (A₃, A₅) лежат на одной прямой.

Если шестивершинник есть любая шестизвенная замкнутая ломанная, а под сторонами шестивершинника понимают прямые, содержащие звенья ломанной, то теорему Паскаля можно сформулировать следующим образом.

Теорема Паскаля. Противолежащие стороны шестивершинника, вписанного в овальную линию второго порядка, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Рисунок 19.

Доказательство. Пусть вершины шестивершинника A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₆ лежат на овальной линии γ. Докажем, что точки O = (A₁A₆) ∩ (A₃A₄), N = (A₂A₄) ∩ (A₁A₅) и N′ = (A₂A₆) ∩ (A₃A₅) лежат на одной прямой (см. рисунок 20).

Рисунок 20.

Пусть f – проективное отображение пучков с центрами A₁ и A₃, которое устанавливается овальной линией γ согласно теореме Штейнера. Отображение f порождает проективное отображение φ: (A₂, A₄)→(A₂, A₆), в которой каждой точке Х₁ на (A₂, A₄) соответствует точка Х₂ прямой (A₂,A₆), такая, что прямые (A₁, Х₁) и (A₃,Х₂) пересекаются в точке Х, принадлежащей линии γ. Поскольку φ(A₂)= A₂, то φ – перспективное отображение, центром его является точка O, причем N′ = φ(N), следовательно N, O, N′ принадлежат одной прямой.

Обратная теорема Паскаля. Если точки пересечения противоположных сторон шестивершинника лежат на одной прямой, то все его вершины лежат на овальной линии второго порядка.

Замечание. Если в теореме Паскаля овальную линию заменить на пару прямых, то мы приходим к теореме Папа.

Двойственной к теореме Паскаля является следующая

Теорема Брианшона. Шестивершинник описан около овальной линии второго порядка тогда и только тогда, когда его большие диагонали пересекаются в одной точке.

Задача 48. Даны пять точек общего положения и прямая, проходящая через одну из них и не проходящая через остальные точки. Построить вторую точку пересечения данной прямой с овальной линией, проходящей через данные пять точек.