Комплексные числа и действия над ними.

	1. - показательная форма. - модуль комплексного числа; -аргумент 2. Используя формулу Эйлера Получим тригонометрическую форму
3. Обозначить через	a - действительную часть b = - мнимую часть
Получим алгебраическую форму комплексного числа
Связь и
Комплексно-сопряженным комплексному числу:
	является:	.
Произведение		- всегда положительное число;
	- оператор поворота вектора в положительном направ-лении на 90 градусов
	- оператор поворота вектора в отрицательном направлении на 90 градусов

Запись мнимых частей комплексно-сопряженных чисел принимает вид:

Действия над комплексными числами

, .

(2.3)

1. Сложение и вычитание выражений в алгебраической форме

.

(2.4)

2. Умножение выражений (2.3) в показательной и в алгебраической формах

;	(2.5)
.	(2.6)

3. Деление выражений (2.3) в показательной и в алгебраической формах

;	(2.7)
.	(2.8)

Полная мощность в комплексной форме

,

(2.9)

где P - активная мощность; ; Q - реактивная мощность, ; - комплекс действующего значения напряжения на участке цепи, ; - сопряженный комплекс действующего значения тока на участке цепи, .

,

(2.9)

где - разность фаз

Баланс мощностей

;

; ;

: .

3.5. Основы символического метода

Задача 2.3. Написать комплекс действующего значения синусоидальной функции времени: , А.

Решение: Модуль комплекса действующего значения совпадает с действующим значением синусоидальной величины, а аргумент совпадает с начальной фазой этой величины: , А.

Задача 2.4. Написать комплекс действующего значения синусоидальной функции времени: , В.

Решение:

Задача 2.5. Написать комплекс действующего значения синусоидальной функции времени: , B.

Решение:

Задача 2.6. Написать комплекс действующего значения синусоидальной функции времени: , А.

Решение: , А.

Отсюда , А.

Задача 2.7. Написать комплекс действующего значения синусоидальной функции времени: , В.

Решение: , B.

Задача 2.8. Найти синусоидальную функции времени, изображенную комплексом действующего значения: , A.

Решение: , oтсюда , A.

Задача 2.9. Найти синусоидальную функции времени, изображенную комплексом действующего значения: , A.

Решение: , (т.к. ). Отсюда , A.

Задача 2.10. Найти синусоидальную функции времени, изображенную комплексом действующего значения: , A.

Решение: , (т.к. ). Отсюда , A.

Задача 2.11. Найти синусоидальную функции времени, изображенную комплексом действующего значения: , В.

Решение: Отсюда , В.

Задача 2.12. Найти синусоидальную функции времени, изображенную комплексом действующего значения: , В.

Решение: Отсюда , В.

Задача 2.13. Найти синусоидальную функции времени, показанную комплексом действующего значения: , В.

Решение: Отсюда , В.

Задача 2.14. Найти синусоидальную функции времени, показанную комплексом действующего значения: , В.

Решение: Отсюда , В.

Задача 2.15. Определить сдвиг фаз между напряжением и током, комплексы действующих значений которых равны: , B, , A.

Решение: , B , ; , A , ; . Отсюда , В.

Задача 2.16. Определить комплексное сопротивление, т.к. напряжение и ток равны: ,В; , А.

Решение: На основании закона Ома

В, , А; .

Задача 2.17. Определить мгновенное значение падения напряжения, если известны ток , А, и комплексное сопротивление , Ом.

Решение: На основании закона Ома ;

, Ом, , А;

, В.

Отсюда , В.

Задача 2.18. Определить мгновенное значение напряжения при токе ,А, и комплексной проводимости .

Решение: На основании закона Ома ;

А, ;

.

Отсюда , В.

Задача 2.19. Найти сумму токов , мгновенные значения которых равны: , А, , А, , А.

Решение: ; , А. , А. , А. Отсюда , А.

Задача 2.20. Определить , если известно:

, А, , А, , А.
Решение: На основании первого закона Кирхгофа: ;
, A; , A, A; Отсюда , А.

Задача 2.21. Определить проводимость Y , если известно комплексное сопротивление Ом.

Решение: ; , Ом, тогда

Отсюда .

Задача 2.22. Найти выражение для комплексного сопротивления Z и комплексной проводимости Y, если Oм, Гн, с^-1 .

Решение: , Ом. .

Задача 2.23. Найти выражение для комплексного сопротивления Z и комплексной проводимости Y , если Oм, c^-1, мкФ.

Решение:

Задача 2.25. Определить комплекс полной мощности, если , В, , А.

Решение: ;

, В, , А, , А;

.

Задача 2.26. Определить активную и реактивную мощности, если , В, , А.

Решение: ;

, В, , А, , А;

.

Отсюда , Вт, , вар.

Задача 2.27. Известны ток и напряжение : , А, , В. Определить активную и реактивную мощности.

Решение: , ,

где ; .

Отсюда

, Вт;

, вар.

Задача 2.28. Определить сопротивление схемы (R и L), если , В, , А.

Решение: . Отсюда , , Ом.

Задача 2.29. Синусоидально изменяющееся во времени напряжение задано в виде комплекса действующего значения

1. Построить на комплексной плоскости.

2. Представить тригонометрической функцией времени.

3. Начертить график мгновенных значений.

Решение: 1. Заданный комплекс представлен в алгебраической форме записи. Построим его на комплексной плоскости, отложив на осях действительных и мгновенных чисел соответствующие величины: , .

2. Для перехода от комплексного к тригонометрической форме записи напряжения представим комплекс в показательной форме:

.

Модуль комплекса – действующее значение напряжения

Амплитуда

Аргумент комплексного числа – начальная фаза синусоидальной функции .Тогда

Амплитуда Аргумент комплексного числа – начальная фаза синусоидальной функции . Тогда

3. График мгновенных значений

Задача 2.30.

Дано:

Определить комплексные напряжения

Записать мгновенные значения

Изобразить векторную диаграмму напряжений и тока.

Решение: 1. Согласно алгоритму, заменяем мгновенные значения напряжений и тока расчетной схемы на их комплексные изображения. 2. Индуктивное сопротивление равно:
3. Ёмкостное сопротивление равно: 5. По закону Ома для участка цепи: 6. Мгновенные значения:	Векторная диаграмма