Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Собственным вектором линейного оператора j называется ненулевой вектор , если существует действительное число l, такое, что Число l называется собственным числом оператора j, этому числу соответствует собственный вектор . Например, при осевой симметрии плоскости относительно прямой l собственными будут: 1) все векторы, параллельные прямой l; 2) все векторы, перпендикулярные прямой l, причем, l1=1, а l2=–1 – собственные числа.

Рассмотрим нахождение собственных чисел и соответствующих им собственных векторов данного линейного оператора. Пусть – собственный вектор, соответствующий собственному числу l оператора j, заданного матрицей в векторном пространстве V2, базис которого . Тогда ; пусть .

Но

Ненулевые решения этой однородной системы существуют, если

.

Это уравнение (относительно l) называется характеристическим. Его корни – собственные числа. Найдя li и подставив их в однородную систему, вычислим координаты собственных векторов, соответствующих собственным числам li. Аналогично можно работать и в пространстве V3, V4 и т.д.

Замечание: если собственный вектор - соответствует собственному числу l, то любой вектор a× – тоже собственный и соответствует этому же собственному числу l, действительно: – собственный вектор, соответствующий числу l.

Пример:

Пусть линейный оператор j задан своей матрицей . Найти его собственные числа и собственные векторы.

1. Вычислим корни характеристического уравнения . l1=–1, l2=6.

2. Найдём собственные векторы, соответствующие l1=–1.

Для этого числа однородная система (на соответствующий собственный вектор), имеет вид: Þ{x+y=0, т.е. =(х; –х) – их бесчисленное множество (т.к. х – любое, кроме 0). В частности, если х=1, то =(1; –1).

Далее так же находим собственный вектор и для l2=6.

, т.е. , здесь Y¹0. В частности, если у=5, то =(2; 5).






Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2263; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.015 сек.