Правило Крамера для 3-мерного случая

Если для системы (7) , то она имеет единственное решение, которое находится по формулам:

;

В случае, если , то система либо имеет бесконечное множество решений ( когда ), либо не имеет решений или несовместна ( в противном случае).

Пример.Решить систему линейных уравнений:

Обратная матрица

Как уже было отмечено, АВ ≠ ВА, но имеются и для этого закона исключения:

АЕ = ЕА, где А, Е – квадратные матрицы, причем Е – единичная матрица.

А^*А=АА^*, где А^* – матрица, присоединенная к матрице А.

Присоединенная матрица А^*= состоит из элементов А_ij – алгебраических дополнений к элементам а_ij данной матрицы А. Алгебраическое дополнение к элементу а_ij есть тот определитель, который получен из определителя матрицы А «вычёркиванием» строки и столбца элемента а_ij , причём этот (полученный) определитель берётся со знаком плюс, если сумма (i+j) – чётная, и со знаком минус, если – нечётная.

Пример. Пусть А = , тогда а₁₁ → А₁₁=а₂₂, а₁₂ → А₁₂= –а₂₁, а₂₁ → А₂₁= –а₁₂ , а₂₂ → А₂₂ = а₁₁. А^*=

Нетрудно проверить, что А^*А=АА^*= |A| E = |A| .

Невырожденные матрицы – квадратные матрицы с отличным от нуля определителем. Для таких матриц существуют обратные, а именно: матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если А^-1А=АА^-1=Е.

Учитывая А∙А^*=А^*∙А= ∙Е, получим, что А^-1= А^*. Это один из способов нахождения обратной матрицы.

Пример: Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение. = =–2, А₁₁=4, А₂₁=–2, А₁₂=–3, А₂₂=1.

А^-1= = . Проверку сделать самостоятельно.

Замечание. Для произведения матриц выполняется ассоциативный закон: (AB)С=A(BC).

Пример. Проверить равенство

.