Поверхности второго порядка

С ранее рассмотренными кривыми второго порядка связаны следующие поверхности. Одна из них – сфера S, уравнение которой может быть записано следующим образом: (x–x₀)² + (y–y₀)² + (z–z₀)² = R², где М₀(х₀; y₀; z₀) – центр сферы, а R – её радиус. Сферу можно получить как результат вращения в пространстве окружности вокруг её диаметра.

Аналогично, при вращении эллипса вокруг одной из его осей можно получить эллипсоид вращения (рис. 1).

рис. 1

В грубом приближении поверхность Земли (так называемый геоид) является эллипсоидом вращения, ось вращения которого проходит через северный и южный полюсы.

Вращая гиперболу вокруг мнимой оси, получим однополостный гиперболоид вращения (рис.2)

рис. 2

Если гиперболу вращать вокруг её действительной оси, то получим двуполостный гиперболоид вращения. (рис.3)

рис. 3

При вращении параболы вокруг её оси, получаем параболоид вращения (рис.4).

рис. 4

Отметим, что сечениями этих поверхностей плоскостями, перпендикулярными оси вращения, являются окружности.

Все выше перечисленные поверхности вращения могут быть преобразованы сжатием (растяжением) к плоскости, в которой находится ось вращения, в одноименные поверхности: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид (без слова «вращения»), а параболоид вращения преобразуется в эллиптический параболоид, выпишем их уравнения:

1. – эллипсоид;

2. – однополостный гиперболоид;

3. – двуполостный гиперболоид;

4. – эллиптический параболоид.

Замечания.

1. Парабола обладает оптическим свойством: для светового луча, падающего из фокуса, отражённый от кривой луч лежит на прямой, параллельной оси параболы. Поэтому у параболоида вращения, или эллиптического параболоида, так же есть оптическое свойство: поместив источник света в фокус, получим, что отражённые от поверхности световые лучи окажутся параллельными оси параболоида. Это находит применение в технике (кривые зеркала в фарах, прожекторах; спутниковые антенны – тарелки в форме параболоида – принимают радио- и теле-сигналы).

2. К поверхностям второго порядка относится и гиперболический параболоид(рис. 5): .

рис.5

Наряду с эллипсоидами, параболоидами и гиперболоидами рассматриваются также конические (рис.6) и цилиндрические поверхности второго порядка. Если пересечь конус плоскостями, не проходящими через его вершину, то можно получить эллипс (рис. 6), гиперболу (рис.7) и параболу (рис.8). Поэтому эти кривые называют часто коническими сечениями.

рис. 6 рис. 7 рис. 8

Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале системы координат OXYZ имеет вид: .

Цилиндры можно получить так: линию второго порядка переместить в пространстве в направлении, не параллельном её плоскости. Тогда из эллипса получим эллиптический цилиндр (рис.9): .

Из гиперболы получим гиперболический цилиндр (рис. 10): .

При перемещении параболы в результате имеем параболический цилиндр (рис.11): z²=2py.

рис. 9 рис.10 рис.11

Линейная алгебра

Матрицы

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел, расположенных в определенном порядке в m строк и n столбцов.

Число , стоящее на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется элементом матрицы А с номером ij. Принятое компактное обозначение для матрицы:

Примеры матриц:

1. ;

2.

3.

Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов - .

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

А=В, если

Матрица, содержащая одну строку (или столбец), называется вектором.

Например:

Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы равны 0.