Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Ñ Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности j(х) называется величина:
М(Х)= =
Ñ Дисперсией непрерывной с.в. Х (с математическим ожиданием М(Х)=а и плотностью вероятности j(х)) называется величина:
D(X)=
Замечание: Можно доказать, что D(X)= -
Найдем значения M(X), D(X) в случае примера 7:
M(X)= = = = (27-1)»2,17.
D(X)= = - = - » 5,0 – 4,7 = 0,3.
Задачи для самостоятельного решения:
1) Посажено два саженца кустарника разных сортов. Вероятность, что первый приживется 0,8, второй – 0,7. Составить закон распределения для случайной величины, характеризующей возможное количество прижившихся саженцев. Построить многоугольник распределения для соответствующей случайной величины. Найти характеристики: М(Х), s.
2) Одновременно бросают две игральные кости. Составить закон распределения для случайной величины, характеризующей возможную сумму очков на обеих костях. Построить многоугольник распределения для соответствующей дискретной случайной величины. Найти ее характеристики: М(Х), s.
3) Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения:
F(X)= (a, b – const.)
Определить: А) Неизвестные параметры: а, b,
Б) Соответствующую функцию плотности распределения,
В) Характеристики: М(Х), s.
4) Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
j(Х)=
Определить: А) Неизвестный параметр а,
Б) Вероятность попадания случайной величины Х на отрезок [-1,3],
В) Интегральную функцию распределения F(X),
Г) Характеристики: М(Х), s.
Контрольные вопросы
- Что называется случайной величиной? Привести примеры.
- Какие случайные величины называются дискретными, а какие непрерывными? Привести примеры дискретных и непрерывных случайных величин.
- Что представляет собой закон распределения дискретной случайной величины?
- Как строится многоугольник распределения дискретной случайной величины?
- Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия. Что они характеризуют?
- Как задается интегральная функция распределения непрерывной случайной величины? Ее свойства?
- Как определяется дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины? Ее свойства?
- Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия
10.4 Некоторые законы распределения
случайных величин
(биномиальный, равномерный, нормальный)
1. Биномиальное распределение
Речь пойдет о серии из n независимых повторных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А происходит с одной и той же вероятностью Р(А) = р (вероятность противоположного события , p( ) =1- р = q).
Вопрос: Какова вероятность, что событие А при этом произойдет ровно m раз? (m£n).
Пример 1. Монета подбрасывается три раза. Какова вероятность, что «орел» при этом выпадет ровно 2 раза?
Обозначим: А={выпадение «орла» при однократном испытании}.
Очевидно p(А)=0,5; p( )=1- p(А) = 1- 0,5 = 0,5, где
={выпадение «решки» при однократном подбрасывании}.
Если исследуемое событие обозначим:
C={При 3-кратном подбрасывании «орел» выпадает 2 раза},
То С = АА + А А + АА, то есть «решка» выпадает третий или второй или первый раз. Используя теоремы сложения и умножения вероятностей:
Р(С) = 3´ =3´ = =3 ´ = .
В общем случае ответ на поставленный выше вопрос дает Формула Бернулли:
где вероятность появления события А m раз в серии n повторных испытаний. В общем случае формула доказывается с помощью метода математической индукции.
Пример 2. Вероятность, что саженец яблони приживется, равна 0,8 (из 100 посаженных саженцев, в среднем, 80 приживаются). Какова вероятность, что из 5 посаженных саженцев приживутся:
А) Ровно 3?
Б) Не менее 3?
Решение:
А) Здесь n =5, m=3, p=0,8, q=1- p=0,2.
10´0,512´0,04=0,2048
Б) Не менее 3, это : или 3, или 4, или 5. Тогда:
0,2048+0,4089+0,3277»0,94.
Так как:
Пример 3. В примере 1 рассчитать вероятности всех возможных исходов, т.е. каковы вероятности, что при трех подбрасываниях монеты «орел» выпадет: ни разу, один, два или три раза?
Решение: n=3, m=0,1,2,3; p=0,5; q=1- p=0,5.
; (0!=1)
Суммарный подсчет дает:
Такое разложение по всем возможным исходам представляет собой биномиальное распределение для случая n=3. Сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1, так как они образуют полную группу исходов испытания, кроме того p+q=P(А)+P( )=1.
Замечание: Слово бином дословно переводится как двучлен (некоторая степень суммы двух слагаемых).
В общем случае рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с постоянной вероятностью Р(А) = p.
Можно рассмотреть дискретную случайную величину Х, возможные исходы которой – это общее возможное количество наступлений события А, то есть числа: 0, 1, 2, …n-1, n.
В соответствии с формулой Бернулли:
Или располагая полученные значения в таблицу:
x | … | n | |||
… |
Получаем Биномиальный закон распределения для дискретной случайной величины Х.
Числовые характеристики для такой случайной величины:
M(X)=n´p; s =ÖD(X) = Ö(n´p´q).
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 3018;