Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Речь пойдет о серии из n независимых повторных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А происходит с одной и той же вероятностью Р(А) = р (вероятность противоположного события , p( ) =1- р = q).

Вопрос: Какова вероятность, что событие А при этом произойдет ровно m раз? (m£n).

Пример 1. Монета подбрасывается три раза. Какова вероятность, что «орел» при этом выпадет ровно 2 раза?

Обозначим: А={выпадение «орла» при однократном испытании}.

Очевидно p(А)=0,5; p( )=1- p(А) = 1- 0,5 = 0,5, где

={выпадение «решки» при однократном подбрасывании}.

Если исследуемое событие обозначим:

C={При 3-кратном подбрасывании «орел» выпадает 2 раза},

То С = АА + А А + АА, то есть «решка» выпадает третий или второй или первый раз. Используя теоремы сложения и умножения вероятностей:

Р(С) = 3´ =3´ = =3 ´ = .

В общем случае ответ на поставленный выше вопрос дает Формула Бернулли:

где вероятность появления события А m раз в серии n повторных испытаний. В общем случае формула доказывается с помощью метода математической индукции.

Пример 2. Вероятность, что саженец яблони приживется, равна 0,8 (из 100 посаженных саженцев, в среднем, 80 приживаются). Какова вероятность, что из 5 посаженных саженцев приживутся:

А) Ровно 3?

Б) Не менее 3?

Решение:

А) Здесь n =5, m=3, p=0,8, q=1- p=0,2.

10´0,512´0,04=0,2048

Б) Не менее 3, это : или 3, или 4, или 5. Тогда:

0,2048+0,4089+0,3277»0,94.

Так как:

Пример 3. В примере 1 рассчитать вероятности всех возможных исходов, т.е. каковы вероятности, что при трех подбрасываниях монеты «орел» выпадет: ни разу, один, два или три раза?

Решение: n=3, m=0,1,2,3; p=0,5; q=1- p=0,5.

; (0!=1)

Суммарный подсчет дает:

Такое разложение по всем возможным исходам представляет собой биномиальное распределение для случая n=3. Сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1, так как они образуют полную группу исходов испытания, кроме того p+q=P(А)+P( )=1.

Замечание: Слово бином дословно переводится как двучлен (некоторая степень суммы двух слагаемых).

В общем случае рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с постоянной вероятностью Р(А) = p.

Можно рассмотреть дискретную случайную величину Х, возможные исходы которой – это общее возможное количество наступлений события А, то есть числа: 0, 1, 2, …n-1, n.

В соответствии с формулой Бернулли:

Или располагая полученные значения в таблицу:

x				…	n
				…

Получаем Биномиальный закон распределения для дискретной случайной величины Х.

Числовые характеристики для такой случайной величины:

M(X)=n´p; s =ÖD(X) = Ö(n´p´q).