Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.

В ряде практических случаев ограничиваются нахождением приближенных значений неизвестных параметров распределения случайной величины по опытным данным, т.е. статистических оценок таких числовых характеристик как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Под оценкой параметра обычно понимают величину, принимаемую за неизвестный параметр a.

Требования к оценке параметров.Для того, чтобы оценка параметра имела практическую ценность, она должна (по возможности) обладать свойствами: несмещенности, эффективности и состоятельности.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению параметра, т.е.

.

Исключение смещенности оценки гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценке истинного значения параметра a. Если , то оценка называется смещенной, что приводит к систематическим ошибкам в оценке параметра a.

Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшее рассеяние среди всех несмещенных оценок параметра a по результатам измерения, т.е.

.

Эффективность оценки означает стремление дисперсии к нулю при неограниченном возрастании объема выборки.

Оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении числа измерений n она стремится по вероятности к значению a, т.е.

.

Оценка истинного значения параметра a при равноточных измерениях является несмещенной и состоятельной. Если при этом случайные ошибки измерения подчиняются нормальному закону распределения вероятностей, то эта оценка будет и эффективной.

В качестве оценки для математического ожидания применяют среднее арифметическое значений выборки, т.е.

. (5.3)

Эта оценка является несмещенной и состоятельной. Проверка требования эффективности оценки параметра значительно сложнее. Однако если случайная величина распределена по нормальному закону, то оценка математического ожидания m является также эффективной оценкой и имеет минимальную дисперсию

.

Для других же законов распределения эта оценка может и не быть эффективной.

За оценку для дисперсии принимают среднее арифметическое квадратов центрированных значений выборки:

. (5.4)

Эта оценка является состоятельной, но смещенной оценкой дисперсии. Оценка же дисперсии, называемая исправленной дисперсией

, (5.5)

является состоятельной, несмещенной, но и неэффективной. Исправленная дисперсия отличается от статистической дисперсии D*(x) лишь постоянным множителем n/(n-1).

Для нормально распределенных случайных величин эта оценка лишь «асимптотически эффективна», т.е. при неограниченном увеличении числа испытаний n она приближается к минимальному значению.

При достаточно больших значениях n смещенная статистическая дисперсия D*(x) и исправленная дисперсия будут различаться незначительно, поэтому в качестве оценки для дисперсии можно применять любую из них.