Интервальная оценка среднеквадратического отклонения нормального распределения.

Задача построения доверительного интервала для оценки среднего квадратичного отклонения нормального распределения, покрывающего параметр с заданной надежностью по исправленному среднему квадратичному отклонению s.

Решение задачи сводится к нахождению такого числа , чтобы выполнялось равенство

или .

Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство в равносильное неравенство

.

Обозначив , получим

. (5.8)

Таким образом, задача построения искомого доверительного интервала свелась к нахождению величины q.

Не вдаваясь в детали, отметим, что для этой цели вводится случайная величина X, равная

,

дифференциальная функция которой имеет вид

.

Для нахождения доверительной вероятности используется формула

, где .

Из равенства (5.8) по заданному n и находится значение .

Функция табулирована.

Следовательно, для построения искомого доверительного интервала достаточно по таблице найти соответствующее значение функции , а затем в двойное неравенство подставить значения s и q.

Пример. Построить доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратичное отклонение с надежностью , если по выборке объема n найдено исправленное среднее квадратичное отклонение s:

а)

б) .

Решение.

По таблице значений функции находим:

а) ; искомый доверительный интервал будет

; или

.

б) ; искомый интервал будет или .

Так как среднее квадратичное отклонение всегда положительно, то окончательно получим, что .