Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратичном отклонении.
Задача построения доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратичном отклонении сводится к следующему.
Обозначим неизвестное математическое ожидание через a, оценку же для него - .
Для нормального распределения
; ; .
Найдем доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр a с надежностью , т.е. найдем такое , чтобы выполнялось равенство
. (5.6)
Для этого воспользуемся формулой
, где Ф(x) – интеграл вероятности.
Заменив в ней X на и на , получим
, где .
На основании равенства (5.6) можем записать, что
, отсюда .
Число t определяется по таблице значений функции Лапласа. Затем из соотношения находится оценка . С учетом этого доверительный интервал будет
. (5.7)
Пример. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратичным отклонением . Построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания соответствующий доверительной вероятности , если объем выборки n=25.
Решение.
Найдем t из соотношения . По таблице значений функции Лапласа находим t, соответствующее значению Ф(t)=0.95/2=0.475. Оно будет t=1.96.
Определяем точность оценки
.
Следовательно, доверительный интервал будет
.
Полученный результат говорит о том, что этот доверительный интервал покрывает неизвестное математическое ожидание a с вероятностью 0,95.
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 309;