Движение материальной точки в пустоте
Рассмотрим движение материальной точки, на которую действует только сила тяжести (сила, имеющая постоянную величину и направление).
Выберем неподвижную систему координат так, чтобы ее начало совпадало с начальным положением точки, а ось y направим вертикально вверх. Ось x расположим в плоскости движения (рис. 1.12)
Рис 1.12
Начальная скорость точки образует угол с осью x. Тогда начальные условия задачи запишутся
(1.7)
Составим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси координат. На точку действует сила тяжести, направленная по вертикали вниз. Тогда дифференциальные уравнения движения точки в плоскости имеют вид
(1.8)
Интегрируя первое уравнение (1.8) с учетом начальных условий (1.7), имеем
Интегрируя второе уравнение (1.8) с учетом начальных условий (1.7), имеем
Интегрируя третье уравнение (1.8) с учетом начальных условий (1.7) имеем
Из полученных уравнений видно, что точка движется в соприкасающейся плоскости xoy, согласно уравнениям движения
. (1.9)
Проведем исследования уравнений движения точки (1.9). Исключим из них параметр t (время), получим уравнение траектории движения в явном виде
, (1.10)
которое представляет собой уравнение параболы. Вершина параболы может быть определена из условия
,
т.е. ,
откуда
. (1.11)
Дальность полета по горизонтали ОА (рис. 1.11), за счет симметричности траектории, равна
. (1.12)
Из выражения (1.12) видно, что
· при углах и тело падает в одну и ту же точку, т.к. ;
· максимальная дальность полета обеспечивается при , т.е. при , тогда дальность полета ОА (рис. 1.11) равна
. (1.13)
Подставляя значение в уравнение траектории (1.10), определим ординату вершины
. (1.14)
Из (1.14) видно: максимальная высота полета ОД (рис. 1.12) обеспечивается, когда , т.е. при , и равна
. (1.14,а)
Отметим, что расстояние от начала координат до максимально возможной высоты полета зависит только от величины скорости.
Определим время , в течение которого тело поднимается вверх. Для этого достаточно решить уравнение , т.к. в тот момент, когда достигнет наибольшего значения, проекция скорости на эту ось равна нулю, т.е.
Vy = =0.
Итак, используя второе уравнение из (1.9), имеем
,
откуда
. (1”)
Полное время полета определим исходя из того, что полет прекращается в тот момент, когда . Пользуясь первым уравнением в (1.9) и (1.12), находим
, откуда . (2”)
Сравнивая выражения (1”) и (2”), видно, что при любом угле наклона броска материальной точки полное время полета в 2 раза больше времени подъема.
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 611;