Особенности применения нелинейных регрессионных моделей

Разнообразие нелинейных моделей, описывающих динамику социально-экономических явлений велико:

- степенная и показательная модели;

- экспоненциальная модель;

- логарифмическая модель;

- модель на основе параболы второй степени;

- полиномиальная модель.

Среди множества нелинейных регрессионных моделей наиболее широкое распространение в эконометрических исследованиях получили полиномиальные модели.

, (3.1)

где y – результативная (зависимая) переменная (фактор-результат);

x – независимая переменная (фактор-признак);

a, b, c, d,…,k – параметры модели.

Основными этапами эконометрического исследования применительно к нелинейному регрессионному анализу являются следующие:

выбор формы уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;

определение параметров уравнения регрессии;

оценка тесноты взаимосвязи (корреляции) исследуемых факторов;

оценка адекватности (статистической значимости) уравнения регрессии.

Кроме указанного, прикладные исследования могут включать этапы, связанные с проведением аналитического прогноза единичных значений результативной переменной, а также оценкой точности и достоверности прогноза.

Процедуру определения параметров нелинейной регрессии рассмотрим на примере параболы второй степени

. (3.2)

Учитывая линейность формы уравнения параболы, ее параметры также могут быть оценены методом наименьших квадратов (МНК):

.

В данном случае на основе МНК образуется система нормальных уравнений, имеющая следующий вид (3.3):

(3.3)

Метод подстановок в данном случае будет значительно громоздким и трудоемким с точки зрения вычислений, поэтому решим систему (3.3) методом Крамера. Для этого представим систему (3.3) в матричном виде:

(3.4)

Неизвестные параметры a, bи cопределяются в результате решения системы (3.4)

(3.5)

где Δ – главный определитель системы линейных уравнений (3.3) и (3.4);

Δa, Δb, Δc–частные определители системы линейных уравнений (3.3) и (3.4).

По найденным значениям параметров a, bи cзаписывается искомое уравнение параболы.

Процедура оценки тесноты взаимосвязи исследуемых факторов применительно к нелинейным регрессиям имеет некоторое отличие от исследований на основе линейных моделей. Вместо линейного коэффициента корреляции степень тесноты взаимосвязи факторов нелинейной регрессии оценивается на основе корреляционного отношения (η):

(3.6)

где D_ост - остаточная дисперсия, определяемая из уравнения регрессии ;

D_общ - общая дисперсия результативного признака (y);

. (3.7)

Величина показателя η находится в пределах: .

Оценка адекватности нелинейной регрессионной модели проводится на основе критерия Фишера по зависимостям (2.11) – (2.14), приведенным во втором разделе пособия.

В ходе процедуры дисперсионного анализа также целесообразно использовать таблицу вида 2.1.

В дополнение к процедурам оценки адекватности регрессионных моделей и дисперсионного анализа хотелось бы заметить, что, великому к сожалению, обозначения сумм квадратов в выражениях дисперсий в разных учебниках трактуются весьма своевольно. Так, по учебнику [Крыштановский А.О. "Анализ социологических данных с помощью пакета SPSS". - М., 2000. - 225 с.], сущность значений ESS и RSS определены с точностью наоборот:

ESS - Explained Sum of Squares;

RSS - Residuals Sum of Squares.

Такая путаница приводит к ошибочным формулам расчёта ESS и RSS, а также расчетам коэффициента детерминации (R-квадрата) и теоретических значений критерия Фишера. В качестве рекомендаций можно посоветовать использование русских обозначений дисперсий: факторная (D_факт) и остаточная (D_ост); рассчитывая их значения, исследователь точно будет знать используемые составляющие и их внутренне содержание.

Процедура эконометрического исследования на основе парной нелинейной регрессии детально рассмотрена на примере 3.1.

Пример 3.1.Имеются данные экспериментов по оценке прочностных свойств стеклопластика (фактор Y) в зависимости от температуры отверждения (фактор X) [11].

Требуется:1. Построить уравнение нелинейной регрессии, описывающей зависимость коэффициента прочности (Y) от температуры (X);

2. Оценить адекватность модели (с помощью коэффициента аппроксимации и по критерию Фишера);

3. Произвести прогноз значения коэффициента прочности при температуре отверждения 8 ºС.

С целью определения формы взаимосвязи исследуемых факторов построим поле корреляции, представленное на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Изображение поля корреляции значений прочностных свойств

стеклопластика (Y) от температуры отверждения (X).

По виду корреляционного облака сделаем предположение о полиномиальной форме взаимосвязи исследуемых факторов на основе параболы второй степени.

Для определения параметров нелинейного уравнения и решения задачи в целом воспользуемся методом Крамера; данные расчета коэффициентов системы нормальных уравнений (3.3) представим в виде таблицы 3.2

Таблица 3.2 – Данные расчета составляющих системы нормальных уравнений

По результатам таблицы 3.2 запишем систему (3.4) в следующем виде:

,

.

Параметры a, bи cполучаются в результате решения системы (3.4), а также выражений (3.5)

.

Расчетное значение критерия Фишера (F_расч.) определяется по формуле (2.11) на основе данных расчета факторной и остаточной сумм квадратов (таблица (3.2))

F_расч.= 1901,707.

Табличное (критическое) значение критерия (F_кр.) определяется на основе выражения (2.14) по данным приложения А, справочников [11,32] или таблицам Excel (раздел мастера функций «Статистические»): F_кр = (α=1-0,95; ν₁= 2-1 ν₂ = 10-3) = 4,737.

Так как расчетное значение критерия намного превосходит критическое, делаем вывод о правильности сделанного вначале исследований предположения о форме взаимосвязи прочностных свойств стеклопластика от температуры отверждения, а также о статистической значимости уравнения регрессии на основе параболы второй степени.

Прогноз значения коэффициента прочности стеклопластика при температуре отверждения 8 ºС произведем на основе полученного уравнения нелинейной регрессии путем подстановки значения x = 8:

Для определения параметров других нелинейных регрессионных моделей используются подходы на основе линеаризации или замены переменных.