Особенности применения нелинейных регрессионных моделей

 

Разнообразие нелинейных моделей, описывающих динамику социально-экономических явлений велико:

 

- степенная и показательная модели;

- экспоненциальная модель;

- логарифмическая модель;

- модель на основе параболы второй степени;

- полиномиальная модель.

 

 

Среди множества нелинейных регрессионных моделей наиболее широкое распространение в эконометрических исследованиях получили полиномиальные модели.

, (3.1)

где y – результативная (зависимая) переменная (фактор-результат);

x – независимая переменная (фактор-признак);

a, b, c, d,…,k – параметры модели.

Основными этапами эконометрического исследования применительно к нелинейному регрессионному анализу являются следующие:

выбор формы уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;

определение параметров уравнения регрессии;

оценка тесноты взаимосвязи (корреляции) исследуемых факторов;

оценка адекватности (статистической значимости) уравнения регрессии.

Кроме указанного, прикладные исследования могут включать этапы, связанные с проведением аналитического прогноза единичных значений результативной переменной, а также оценкой точности и достоверности прогноза.

Процедуру определения параметров нелинейной регрессии рассмотрим на примере параболы второй степени

. (3.2)

Учитывая линейность формы уравнения параболы, ее параметры также могут быть оценены методом наименьших квадратов (МНК):

.

В данном случае на основе МНК образуется система нормальных уравнений, имеющая следующий вид (3.3):

(3.3)

Метод подстановок в данном случае будет значительно громоздким и трудоемким с точки зрения вычислений, поэтому решим систему (3.3) методом Крамера. Для этого представим систему (3.3) в матричном виде:

(3.4)

Неизвестные параметры a, bи cопределяются в результате решения системы (3.4)

(3.5)

где Δ – главный определитель системы линейных уравнений (3.3) и (3.4);

Δa, Δb, Δc–частные определители системы линейных уравнений (3.3) и (3.4).

По найденным значениям параметров a, bи cзаписывается искомое уравнение параболы.

Процедура оценки тесноты взаимосвязи исследуемых факторов применительно к нелинейным регрессиям имеет некоторое отличие от исследований на основе линейных моделей. Вместо линейного коэффициента корреляции степень тесноты взаимосвязи факторов нелинейной регрессии оценивается на основе корреляционного отношения (η):

(3.6)

где Dост - остаточная дисперсия, определяемая из уравнения регрессии ;

Dобщ - общая дисперсия результативного признака (y);

. (3.7)

Величина показателя η находится в пределах: .

Оценка адекватности нелинейной регрессионной модели проводится на основе критерия Фишера по зависимостям (2.11) – (2.14), приведенным во втором разделе пособия.

В ходе процедуры дисперсионного анализа также целесообразно использовать таблицу вида 2.1.

В дополнение к процедурам оценки адекватности регрессионных моделей и дисперсионного анализа хотелось бы заметить, что, великому к сожалению, обозначения сумм квадратов в выражениях дисперсий в разных учебниках трактуются весьма своевольно. Так, по учебнику [Крыштановский А.О. "Анализ социологических данных с помощью пакета SPSS". - М., 2000. - 225 с.], сущность значений ESS и RSS определены с точностью наоборот:

ESS - Explained Sum of Squares;

RSS - Residuals Sum of Squares.

Такая путаница приводит к ошибочным формулам расчёта ESS и RSS, а также расчетам коэффициента детерминации (R-квадрата) и теоретических значений критерия Фишера. В качестве рекомендаций можно посоветовать использование русских обозначений дисперсий: факторная (Dфакт) и остаточная (Dост); рассчитывая их значения, исследователь точно будет знать используемые составляющие и их внутренне содержание.

Процедура эконометрического исследования на основе парной нелинейной регрессии детально рассмотрена на примере 3.1.

 

Пример 3.1.Имеются данные экспериментов по оценке прочностных свойств стеклопластика (фактор Y) в зависимости от температуры отверждения (фактор X) [11].

№ эксперимента х у
-3 5,3
-2 5,7
-1 6,1
6,8
7,2
8,1
9,3
10,5
11,5

 

Требуется:1. Построить уравнение нелинейной регрессии, описывающей зависимость коэффициента прочности (Y) от температуры (X);

2. Оценить адекватность модели (с помощью коэффициента аппроксимации и по критерию Фишера);

3. Произвести прогноз значения коэффициента прочности при температуре отверждения 8 ºС.

С целью определения формы взаимосвязи исследуемых факторов построим поле корреляции, представленное на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Изображение поля корреляции значений прочностных свойств

стеклопластика (Y) от температуры отверждения (X).

По виду корреляционного облака сделаем предположение о полиномиальной форме взаимосвязи исследуемых факторов на основе параболы второй степени.

Для определения параметров нелинейного уравнения и решения задачи в целом воспользуемся методом Крамера; данные расчета коэффициентов системы нормальных уравнений (3.3) представим в виде таблицы 3.2

Таблица 3.2 – Данные расчета составляющих системы нормальных уравнений

№ эксп. х у х2 х3 х4 y∙х y∙х2 Yxi (Yi-Yxi)2 (Yxi-Yср)2
-3 5,3 -27 -15,9 47,7 5,35 0,00215 9,02
-2 5,7 -8 -11,4 22,8 5,65 0,002685 7,30
-1 6,1 -1 -6,1 6,1 6,09 0,000166 5,12
6,8 6,66 0,018719 2,85
7,2 7,2 7,2 7,38 0,031104 0,95
8,1 16,2 32,4 8,23 0,016044 0,02
9,3 27,9 83,7 9,21 0,00738 0,75
10,5 10,34 0,026038 3,95
11,5 57,5 287,5 11,60 0,010061 10,56
13,00 8,26E-07 21,61
Сумма 83,5 195,4 1123,4   0,114348 62,13
Среднее значение 1,5 8,35                

По результатам таблицы 3.2 запишем систему (3.4) в следующем виде:

,

.

Параметры a, bи cполучаются в результате решения системы (3.4), а также выражений (3.5)

.

Расчетное значение критерия Фишера (Fрасч.) определяется по формуле (2.11) на основе данных расчета факторной и остаточной сумм квадратов (таблица (3.2))

Fрасч.= 1901,707.

Табличное (критическое) значение критерия (Fкр.) определяется на основе выражения (2.14) по данным приложения А, справочников [11,32] или таблицам Excel (раздел мастера функций «Статистические»): Fкр = (α=1-0,95; ν1= 2-1 ν2 = 10-3) = 4,737.

Так как расчетное значение критерия намного превосходит критическое, делаем вывод о правильности сделанного вначале исследований предположения о форме взаимосвязи прочностных свойств стеклопластика от температуры отверждения, а также о статистической значимости уравнения регрессии на основе параболы второй степени.

Прогноз значения коэффициента прочности стеклопластика при температуре отверждения 8 ºС произведем на основе полученного уравнения нелинейной регрессии путем подстановки значения x = 8:

Для определения параметров других нелинейных регрессионных моделей используются подходы на основе линеаризации или замены переменных.






Дата добавления: 2018-05-10; просмотров: 750; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.034 сек.