Оценка тесноты взаимосвязи факторов множественной регрессии

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции (R_yx1x2…xn), для определения которого используется выражение (4.9):

(4.9)

Кроме того, используя рекуррентные выражения (4.10)-(4.12), могут дополнительно рассчитываться частные коэффициенты множественной корреляции, которые оценивают влияние фактора x_i на y при неизменном уровне других:

(4.10)

(4.11)

(4.12)

где r_yx1x2, r_yx2x1, r_x2x1y– частные коэффициенты множественной корреляции (показывают степень влияния одного фактора x на результативный фактор y при фиксированном значении другого фактора x, а также степень влияния одного фактора x на другой фактор x при фиксированном значении результативного фактора y). Значения частные коэффициентов множественной корреляции изменяются в пределах от -1 до + 1.

Для характеристики относительной силы влияния факторов x_i на y могут рассчитываться средние (частные) коэффициенты эластичности (4.13), показывающие, на сколько % в среднем изменится анализируемый показатель (у) с изменением на 1% каждого фактора при фиксированном значении других факторов:

(4.13)

С целью оценки адекватности модели также используют общий критерий Фишера (F-критерий), проверяющий основную гипотезу (H₀) о статической значимости уравнения множественной регрессии и показателя тесноты связи (R_yx1x2…xn). Для этого используется формула (4.14):

(4.14)

где m - число независимых факторов регрессии (для примера 4.1 m = 2 (x₁, x₂);

По таблицам F – критерия (приложение А) находится значение F_табл

(4.15)

где - число коэффициентов (параметров) уравнения регрессии ( =3 (a, b_1, b₂).

Основная гипотеза(H₀) принимается, если F_табл < F_расч; в этом случае с вероятностью p = 1 – = 0,95 делается заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи R_yx1x2…xn, которые сформировались под воздействием факторов x₁, x₂,… x_n.

Частные F-критерии - F_x1 и F_x2 оценивают статическую значимость присутствия факторов x₁ и x₂ в уравнении множественной регрессии. Кроме того, F_x1 оценивает целесообразность включения в уравнение фактора x₁ после того, как в него был включен фактор x₂. Соответственно F_x2 указывает на целесообразность включения в модель фактора x₂ после фактора x₁.

Расчетные значения частных критериев определяются по формулам (4.16) и (4.17):

(4.16)

(4.17)

(4.18)

В данном случае основная гипотеза(H₀) принимается(является статистически значимой) такжепри условии, что F_табл < F_расч.

Примечание: при обосновании объема исследуемой выборки (n) считается оптимальным наличие 6-7 точек наблюдения на каждый фактор уравнения множественной регрессии.

Ниже приведены примеры применения многомерного корреляционно – регрессионного анализа.